ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ХАОТИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ

Введение 3
Постановка задачи 6
Глава 1. Спектр показателей Ляпунова 7
1.1. Определение спектра Ляпунова для разных классов движений динамических систем 7
1.2. Пример хаотического поведения для системы Лоренца 9
Глава 2. Расчёт спектра показателей Ляпунова методом Бе- неттина 11
2.1. Линеаризация системы 11
2.2. Ортогонализация методом Грама-Шмидта 12
Глава 3. Расчёт спектра Ляпунова для ротационно-симметричной модели движения звезды 14
3.1. Описание модели движения звезды 14
3.2. Вычисление старшего показателя Ляпунова по заданному множеству значений параметров 16
3.3. Примеры различных типов движения звезды в зависимости от параметров 18
Выводы 23
Список литературы 24
Купить

Для описания реальных процессов и явлений, их возможных режи­мов поведения и соответствующих им изменений, происходящих с течением времени, широко используется формализованное представление этих про­цессов и явлений в виде динамических систем. Под динамической системой подразумевается однозначное определение понятия состояния исследуемо­го объекта в фиксированный момент времени и задание закона изменения (эволюции) начального состояния с течением времени, например в виде системы дифференциальных уравнений
Х = F(X), X 2 E„.
В таком случае траектории движений динамических систем
X(t,X0,t0), t 2 (-1, +1)
будут определяться начальной точкой движения Х0 и присущими этим си­стемам динамическим характеристикам, прямо зависящим от закона эво­люции (в данном примере — от вида вида правых частей). В зависимо­сти от этих характеристик и начальных данных типы траекторий самих движений могут быть как регулярными (положение покоя, периодическое колебание), так и хаотическими (странный аттрактор).
В таком случае, одной из основных задач будет являться предсказа­ние движения на сколь угодно большой временной интервал динамической системы по начальным данным, особенно с учётом возможного задания начальной точки с определённой погрешностью. При этом важно опреде­лить, какие именно динамические характеристики системы (и их значения) отвечают за точность предсказания или, наоборот, не позволяют такую воз­можность в принципе.
Темой данной работы является исследование хаотических режимов поведения динамических систем и определение их соответствующих дина­мических характеристик, так как такие системы являются очень „чуткими“ по отношению к разного рода слабым воздействиям. Эти системы являются нелинейными, так как их отклик непропорционален силе „возмущающего“ воздействия, а часто и вообще непредсказуем. В качестве примера рассмотрим разностную систему логистического отображения
x(k + 1) = a • x(k)(1 — x(k)
при параметре a = 4 (хаотический режим), начальной точке х0 = 0.12 и возмущенной точке Х0 = 0.120001. Как видно на графике (Рис. 1), траек­тории, начавшиеся из близких точек х0 = 0.12 и Х0 = 0.120001 с течением времени (достаточно быстро) расходятся и, тем самым, предсказать траек­торию возмущенного движения не представляется возможным.
Рис. 1: График логистического отображения при х0 = 0.12 (синий) и х0 = 0.120001 (красный).
Здесь можно заметить, что колебания x(k) носят хаотический харак­тер, но при этом остаются ограниченными, что достигается за счёт нели­нейного ограничения вида —ax2(k), входящего в правую часть логисти­ческого уравнения. Это нелинейное ограничение отвечает за так называе­мый эффект „перемешивания“ фазового пространства, а так же оказывает влияние на экспоненциальную (отвечающую за линейную составляющую уравнения) скорость расхождения изначально близких траекторий.
Динамическая характеристика, отвечающая за это расхождение близ­ких траекторий, называется показатель Ляпунова. Для логистического отоб­ражения при параметре a = 4 показатель Ляпунова А = 0,6923. Причём для n-мерного фазового пространства имеет смысл рассматривать разбега­ние (сближение) соседних траекторий по n направлениям, тем самым опре­деляя спектр показателей Ляпунова Л1,..., Лп. Положительные показате­ли Ляпунова будут отвечать за расхождение траекторий и возможность хаотического поведения движений динамичесих систем, нулевые или отри­цательные значения показателей Ляпунова — за регулярное поведение.
Купить