Введение 3
Предметная область 6
Постановка задачи 8
Обзор литературы 9
1 Последовательные алгоритмы оценки опционов 10
1.1 Численные методы оценки опционов 10
1.2 Алгоритмы оценки опционов, основанные на методе Монте-Карло 10
1.2.1 Стохастическое дифференциалвное уравнение 11
1.2.2 Континуалвный интеграл 16
1.2.3 Дифференциалвное уравнение в частнвхх производнвхх 20
2 Параллелизм для ускорения вычислений 24
2.1 Ввхчислителвнвхе мощности 24
2.2 Параллелвнвхе ввхчисления в MATLAB 25
2.2.1 О MATLAB и Parallel Computing Toolbox 25
2.2.2 Параллелвный алгоритм в MATLAB 26
2.3 Технология параллелвных вычислений OpenCL 27
2.3.1 Описание технологии OpenCL 27
2.3.2 Генератор случайных чисел 29
2.3.3 Редукция выходного массива 31
2.3.4 Структура программы на OpenCL 33
2.3.5 Параллелвный алгоритм расчета опционов на OpenCL 35
3 Анализ полученного ускорения вычислений 37
3.1 Ускорение в MATLAB 37
3.2 Ускорение при помощи OpenCL 40
3.3 Сравнение времени работы реализаций в MATLAB, на языке С и OpenCL 46
Выводы 48
Заключение 50
Список литературы 51
Купить

Метод Монте-Карло — метод численного решения математических задач с помощью моделирования большого количества случайных величин и на­хождения их математического ожидания. Вычисление интегралов является основной направленностью этого метода, так как математическое ожида­ние непрерывной случайной величины выражается через интеграл.[1][2]
Метод Монте-Карло имеет применение во многих областях, как то:
• задачи финансовой математики - моделирование рыночных ситуаций;
• задачи теории игр;
• производственные задачи - моделирование сложных систем и сетей;
• задачи ядерной и статической физики, и другие.
Популярность этому методу принесла его существенная простота. Дан­ный метод основан на теории вероятности, а конкретнее, на Центральной предельной теореме. Таким образом, ошибка вычислений, проводимых на основе этого метода, сильно зависит от количества моделируемых испы­таний. Чем больше испытаний мы проводим, тем меньше ошибка, и в то же время больше временные затраты на расчеты. Тем не менее, для неко­торых задач, которые требуют высокой точности вычислений, даже до­статочно большое количество испытаний, проведенных в рамках метода Монте-Карло, не даст желательной точности.
Однако мы будем рассматривать применение этого метода в рамках моделирования экономических ситуаций. Обычно в таких задачах требу­ется спрогнозировать примерную траекторию развития рыночной ситуа­ции. Например, нам не нужно знать сколько будет стоить акция через год с точностью до копейки, но нам нужно знать, будет ли цена на акцию расти или падать, и чем быстрее мы это узнаем, тем лучше. Таким обра­зом, для прогнозирования в рамках экономической и финансовой области в приоритете оказывается скорость вычислений, нежели их точность. И тут оказывается полезным свойство хорошей распараллеливаемости мето­да Монте-Карло, путем распределения численных статических испытаний по отдельным процессорам.
В настоящее время большую популярность приобрели различные техно­логии параллельных вычислений, в том числе с использованием GPGPU (General Purpose GPU). Это связано с постоянно растущей сложностью актуальных задач, а так же с растущим объемом данных для обработ­ки. Суть таких вычислений в том, чтобы части программы выполнялись одновременно в наборе потоков, взаимодействующих друг с другом. Ис­пользование параллельных компьютеров (компьютерных систем с набором процессоров, работающих одновременно) обосновано идеей о том, что если одному процессору на выполнение задачи требуетсяр времени, то п процес­сорам на это должно потребоваться в п раз времени меньше. Но, конечно, это идеальный случай, и в реальности такого добиться не удастся. Однако, ускорить работу вполне возможно, в той или иной степени, в зависимости от алгоритма и имеющейся аппаратной системы.[3]
Примерами технологий для параллельных вычислений могут быть OpenMP, MPI, CUDA, OpenCL. Так же в пакете прикладных программ MATLAB существует набор средств для написания параллельных алго­ритмов, объединенных в MATLAB Parallel Computing Toolbox.
В данной работе будут исследоваться алгоритмы оценки европейского опциона, как примера классического вида, и азиатского, в качестве услож­нения первоначальной задачи. Рассматриваемые алгоритмы, основанные на методе Монте-Карло, будут реализованы последовательно и параллель­но с помощью технологий MATLAB Parallel Computing Toolbox и техноло­гии гетерогенных вычислений OpenCL и языка С. Анализ скорости работы разных подходов и технологий будет проведен на высокопроизводительном кластере Ресурсного Центра "Вычислительный Центр СПбГУ"[4].
Опцион - вид экономических деривативов, который является достаточ­но гибким инструментом работы на бирже и позволяет снизить риски мани­пулирования активами. Подробнее опционы будут описаны в главе "Пред­метная область". Большую роль в теории оценки опционов сыграла статья "The pricing of options and corporate liabilities" 1973 года (Myron Scholes, Fischer Black) [5], в которой была описана модель Блэка-Шоулза, давшая аналитическую формулу для классических, или ванильных, опционов. Но для опционов другого вида, экзотических, формулы нет, поэтому приходит­ся использовать численные методы для приближенного нахождения цены таких опционов, что и приводит нас к методу Монте-Карло.
Таким образом, в данной работе будет исследован вопрос об оценке оп­ционов методом Монте-Карло и ускорении соответствующих вычислений с помощью программных средств MATLAB Parallel Computing Toolbox и технологии гибридных вычислений OpenCL.
Купить