ИССЛЕДОВАНИЯ ХАОТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Введение 3
Постановка задачи 5
Глава 1. Некоторые элементы теории хаоса 6
1.1. Хаотические системы 6
1.2. Аттракторы 7
1.3. Показатели Ляпунова 8
Глава 2. Вычисление старшего показателя Ляпунова по вре­менному ряду методом Вольфа 12
2.1. Восстановление аттрактора по временному ряду методом Такенса 12
2.2. Описание алгоритма 13
2.3. Пример. Аттрактор Лоренца 15
Глава 3. Вычисление старшего показателя Ляпунова для од­ной модели звездной динамики 18
3.1. Описание модели движения звезды 18
3.2. Реконструкция акттракторов по временным рядам псевдоэкспериментальных данных 20
3.3. Расчет старшего показателя Ляпунова для различных классов движений звезды 25
Выводы 29
Список литературы 31
Купить

При исследовании свойств различных динамических систем в насто­ящее время получил актуальность подход, основанный на анализе сигна­лов, произведенных системой. Такой метод применим в тех случаях, когда сам процесс математически описать практически невозможно, однако есть возможность наблюдать некоторую величину. Например, электрокардио­грамма, запись колебаний земной коры, данные метеонаблюдений, бирже­вой курс, солнечная активность и т.п. Поэтому такой анализ часто реа­лизуется путем обработки фиксируемых сигналов. Изменение со временем некоторой переменной называется (скалярным) временным рядом, а если измеряется несколько переменных — векторным, метод называется рекон­струкцией динамических систем, а раздел теории динамических систем — анализом временных рядов [1, 2, 3]. Временные ряды естественным образом возникают в эксперимента как натурных (тогда получается непрерывный ряд y(t)), так и численных (тогда получается дискретный ряд). Конечно, наличие только лишь наблюдаемых данных усложняет процесс изучения системы по сравнению с тем случаем, когда имеется полное ее решение. Поэтому необходимо вводить дополнительные ограничения при реализа­ции метода реконструкции [4].
Скалярным временным рядом xi, ...,xn называется массив из N чи­сел, которые представляют собой значения некоторой наблюдаемой дина­мической переменной x(t) с постоянным по времени шагом т , где ti = to + (i — 1)т, xi = x(ti),i = I,..., N. При анализе временных рядов выделя­ются две основные задачи, первая из которых — задача идентификации, а вторая — задача прогноза. Задача идентификации заключается в нахож­дении таких параметров системы, породившей данный временной ряд, как размерность вложения, корреляционная размерность, энтропия и др. Раз­мерностью вложения называется наименьшее число независимых перемен­ных, которые однозначно определяют установившееся движение исходной диссипативной распределенной системы. Обычно размерность вложения обозначают как d. Подмножество, к которому с течением времени стяги­ваются все близлежащие траектории системы — это аттрактор [1, 5, 6]. Размерность вложения аттрактора — это минимальная размерность фа­зового пространства, в которое без самопересечений может быть помеще­но гладкое многообразие, целиком содержащее этот аттрактор. Например, двумерный тор вложим только в трехмерное пространство и простран­ство большей размерности. Корреляционная размерность является оценкой фрактальной размерности аттрактора системы и частным случаем обоб­щенной вероятностной размерности. Понятие энтропии связано с предска­зуемостью значений ряда и всей системы.
Исследование временных рядов основано на идее, что для получения удовлетворительной геометрической картины странного аттрактора, вме­сто входящих в исходную систему переменных можно использовать век­торы задержек наблюдаемой Zi = (xj,x+i,...,x+m_i). Впервые данный подход к анализу временных рядов был математически обоснован в работе Ф.Такенса [7]. То есть наиболее интересным приложением теории дина­мических систем может являться прогнозирование динамики временных рядов, порождаемых ими. При этом предполагается, что характеристики систем могут быть неизвестны. Таким образом, теоретические исследова­ния, основанные на анализе временных рядов, могут дать мощный инстру­мент для понимания многих явлений, особенно когда имеющихся данных для построения модели может быть недостаточно.
Купить