Введение 3
Цели и задачи 5
Глава 1. Виды эпидемических моделей 6
1.1 SIR модель 6
1.2 SIS модель 7
1.3 Точная SIS модель 8
1.4 Модель NIMFA 14
Глава 2. Численное моделирование 15
2.1 Описание эпидемической модели на структуре сети 15
2.2 Процедура моделирования модели NIMFA 16
Глава 3. Эксперименты 18
3.1 Первая серия экспериментов 18
3.2 Вторая серия экспериментов 22
3.3 Третья серия экспериментов 24
Заключение 27
Список литературы 28
Приложения 30
Приложение 1. Код скрипта и процедур для численного моделирования 30
Приложение 2. Некоторые эксперименты первой серии 34
На протяжении всей истории человечества люди сталкивались с различными видами инфекционных заболеваний, которые, по статистическим данным, унесли больше человеческих жизней, чем войны. В связи с этим необходимо было начать изучать эпидемические процессы. Для их изучения используется математическое моделирование. С его помощью можно создавать эпидемические модели — упрощенный способ описания передачи инфекционных заболеваний через отдельных лиц. Эти модели помогают исследовать процессы распространения вирусных заболеваний, выявлять их тенденции к дальнейшему развитию, искать решения предотвращения эпидемий в будущем.
До сих пор вопросы, связанные с изучением эпидемических процессов, остаются актуальными. Это можно объяснить несколькими факторами. Во-первых, у вирусов, вызывающих инфекционные заболевания, возникают новые мутации [1]. В ходе мутации они могут менять свои свойства. Это довольно сильно осложняет борьбу с вирусными заболеваниями, так как на проведенные вакцинации или на принятые противовирусные препараты человеком, вирусы не будут реагировать должным образом. Во- вторых, появляются новые вирусы, которые могут стать возбудителями болезней, которые еще не изучены. В-третьих, классические модели, описывающие распространение инфекционного заболевания, могут использоваться вне эпидемиологии. Например, для изучения распространения информации в обществе, в задачах сетевой безопасности, а также в исследованиях вирусного маркетинга.
W. O. Kermack и A. G. McKendrick оказали большое влияние на развитие эпидемиологии. В своей работе [2] в 1927 году они впервые ввели модель SIR (susceptible-infected-recovered), описывающую распространение инфекционных заболеваний в популяции. Эта модель является основой для задач моделирования эпидемий. В настоящий момент можно встретить работы, основанные как на этой модели, так и на различных её модификациях.
С развитием технологий и появлением компьютеров начали создаваться компьютерные вирусы. Для борьбы с ними еще в прошлом столетии начали применяться методы эпидемического моделирования. В своих работах [3-5] J. 0. Kephart, and S. R. White исследуют поведение компьютерных вирусов, описываемое SIS (susceptible-infected-susceptible) и другими эпидемическими моделями, а также ищут методы предотвращения компьютерных эпидемий.
W. Goffman и V. A. Newill в статье "Generalization of epidemic theory an application to the transmission of ideas" [6] рассматривают распространение идеи в обществе с точки зрения эпидемического процесса. A. L.Hill, D. G. Rand, M. A. Nowak, N. A. Christakis провели интересное исследование, посвященное изучению распространения положительных и отрицательных эмоций у людей посредством социальных сетей. В статье "Emotions as infectious diseases in a large social network: the SISa model" [7] приводятся результаты этого исследования. Для такого процесса на основе модели SIS была получена модель SISa, которая отражает специфику изучаемой задачи и может точнее отразить процесс распространения эмоций человека в сети. С помощью добавления новой стадии развития эпидемии к классической модели задается процесс спонтанной смены настроения у человека, который не зависит от контактов рассматриваемого индивида.
Исследовательская группа P. Van Mieghem, J. Omic, R. Kooij в статье "Virus Spread in Nerworks" [8] представили результаты изучения распространения эпидемии с помощью модели N-Interwined mean-field approximation (NIMFA), заданной на сети. В работе "Complete game-theoretic characterization of SIS epidemics protection strategies" [9] P.Van Mieghem, Y. Hayel, S. Trajanovski, E. Altman, H. Wang используют эту же модель для анализа процесса распространения вируса в полной сети. В этой статье формулируется задача о поиске оптимальной стратегии защиты игрока от вредоносного программного обеспечения. Для постановки задачи применяется не только теория эпидемического моделирования, но и теория игр заполнения.
В данной выпускной квалификационной работе описаны классические модели распространения эпидемий и их модификации. В частности, внимание было уделено точной модели SIS и ее аппроксимирующей модели NIMFA, которые позволяют моделировать эпидемии, учитывая структуру сети. Это свойство играет важную роль в изучении процессов распространения инфекционных заболеваний, так как позволяет анализировать процесс для каждого индивида в рассматриваемой популяции.
Для изучения модели NIMFA был создан скрипт. С помощью него были проведены несколько серий экспериментов, которые позволили изучить зависимость состояния системы от значений начальных данных.
Созданный скрипт "SimNIMFA.m" вместе со вспомогательными процедурами образуют инструмент для изучения процессов не только в эпидемиологии, но и в других сферах жизни человека. В дальнейшем предполагается с помощью численного моделирования провести исследование процесса распространения эпидемии для каждого узла в отдельности. Применить теорию марковских процессов для других классических моделей, например SIR, и для них создать программу для моделирования экспериментов.
