Введение 5
Цели и задачи 7
1. Нелинейности упруго-пластического типа 8
1.1. Предварительные сведения 8
1.2. Модель упруго-пластического осциллятора 8
1.3. Дифференциальное уравнение осциллятора 9
1.4. Гистерезисные нелинейности 10
1.5. Задание нелинейности через дифференциальное включение 11
2. Дифференциальные включения 15
2.1. Предварительные сведения 15
2.2. Представление упруго-пластического осциллятора в виде
дифференциального включения 15
2.3. Существование решения дифференциального включения
с выпуклой правой частью 17
3. Монотонные операторы 20
3.1. Основные определения 20
3.2. Монотонность правой части системы с гистерезисом ... 20
4. ОДУ с гистерезисной нелинейностью 24
4.1. Постановка задачи 24
4.2. Теорема о существовании решения 24
5. ОДУ с неавтономными коэффициентами 27
5.1. Некоторые определения из теории коциклов 27
5.2. Условия частотной теоремы 28
5.3. Частотная теорема и ее приложение к существованию периодических решений 34
6. Применение метода усреднения к поиску периодических решений 35
6.1. Подготовка к применению метода 35
6.2. Получение системы коэффициентов 35
6.3. Эксперименты 37
Заключение 39
Исходные коды 40
Список литературы 43
В работе будут рассматриваться обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка вида:
X + С0Ж + &(х) = f (t),
где х ЕR - общее перемещение вследствие деформации, а(х) - упруго-пластическая восстанавливающая сила(нелинейность упруго-пластического типа), f (t)- внешняя сила. Известно, что такие уравнения описывают один класс упруго-пластических деформаций [1].
При приложении силы к телу оно может деформироваться, при этом разделяют два разных вида деформаций. Деформация называется упругой, если она исчезает после удаления вызвавшей её нагрузки (то есть тело возвращается к первоначальным размерам и форме), и пластической, если после снятия нагрузки деформация не исчезает (или исчезает не полностью).Рассмотрим декомпозицию перемещения х на упругую и пластическую части:
X = Xе + жр
где хе - упругая часть деформации, хр - пластическая часть. Тогда нелинейность можно представить в следующем виде:
а (х) = К (х — хр),
где К ЕR - коэффициент жесткости.
В первой главе работы представлены два различных способа представления упруго-пластической нелинейности, а именно гистерезис и дифференциальное включение, а также приведен пример задания упруго-пластического осциллятора.
Во второй главе рассматривается представление упруго-пластического осциллятора в виде дифференциального включения, а также приводится теорема существования решения для дифференциального включения.
В третьей главе представлены элементы теории монотонных операторов и ее приложение к задаче нахождения решений ОДУ с упруго-пластической нелинейностью.
В четвертой главе рассматриваются ОДУ с гистерезисными нелинейностями и теорема существования решения ОДУ с такой нелинейностью, которая позволяет установить существование решения в случае, например, билинейного гистерезиса.
В пятой главе используются элементы теории коциклов для получения условий частотной теоремы в случае неавтономной системы. С ее помощью становится возможным сделать вывод о существовании периодических решений в неавтономной системе.
В шестой главе рассматривается метод усреднения для численного построения периодических решений ОДУ с гистерезисной нелинейностью и проводятся эксперименты над коэффициентами ОДУ.
Цели и задачи
Целью данной работы является изучение обыкновенных дифференциальных уравнений с нелинейностями упруго-пластического типа. Необходимо решить ряд задач, а именно:
1. Рассмотреть различные способы описания нелинейности упруго-пластического типа;
2. Найти условия существования решений ОДУ c упруго-пластической нелинейностью;
3. Выполнить поиск условий существования периодических решений для ОДУ упруго-пластического типа;
4. Описать численный алгоритм нахождения периодического решения для ОДУ упруго-пластического типа и провести эксперименты.
В рамках данной работы получены следующие результаты:
1. Описаны различные способы задания упруго-пластической нелинейности;
2. Получено представление упруго-пластического осциллятора в виде дифференциального включения и представлена теорема существования решения;
3. Использована теория монотонных операторов для изучения ОДУ с гистерезисной нелинейностью;
4. Построен коцикл для неавтономной системы упруго-пластических деформаций и получены частотные условия существования пери-одических решений для такой системы;
5. Рассмотрен метод усреднения и показано его применимость к ОДУ с упруго-пластической нелинейностью для численного построения периодических решений.
