Введение
1. Основные понятия
1.1. План эксперимента
1.2. Критерии оптимальности
Глава 1. Нахождение L-оптимальных планов для полиномиальных моделей
1.1. Случай квадратичной модели
1.2. Случай кубической модели
Глава 2. Нахождение локально D-оптимальных планов для нелинейных
моделей
2.1. Обобщенная модель Михаэлиса-Ментен
2.1.1. Число точек плана
2.1.2. Весовые коэффициенты плана
2.1.3. Опорные точки плана
2.2. Дробно-рациональная модель с четырьмя параметрами
2.2.2. Алгебраическое уравнение
2.2.3. Решение уравнения для достаточно большого промежутка . . . . 17
2.2.4. Решение уравнения для малого промежутка
Заключение
Литература
Приложение А. Реализация алгоритма
Теория планирования — раздел математической статистики, занимающийся оптимальным планированием условий эксперимента. Основание этой теории было заложено Р. Фишером в 1935 году в его работе [1]. Результат эксперимента зависит от некоторых параметров и часто стоит задача нахождения оценки этих параметров или проверки некоторой гипотезы относительно них. Когда проведение опыта связано со значительными временными или материальными затратами, требуется осуществлять рациональный выбор плана эксперимента, чтобы за наименьшее число опытов получить наиболее точную оценку.
Существуют множество критериев оптимальности, наиболее исследованным из которых является D-критерий, минимизирующий объем доверительного эллипсоида. Также популярным является критерий L-оптимальности, который позволяет минимизировать среднюю дисперсию оценок параметров (определения соответствующих критериев будут даны в пункте 1.2).
Целью данной работы является построение L-оптимального плана для квадратической и кубической модели, а Михаэлиса-Ментен и дробно-рациональной модели с четырьмя параметрами (в случае большого и малого промежутков). Работа осуществлена в рамках темы СПбГУ 6.38.435.2015.
Сначала будут рассмотрены L-оптимальные планы на отрезке [−1, 1] для некоторых полиномиальных моделей (D-оптимальные планы для них уже были найдены, см. [2, с. 64]).
Далее в работе будут рассмотрены локально D-оптимальные планы для некоторых
нелинейных по параметрам моделей. Например, для обобщенной модели МихаэлисаМентен, которая находит широкое применение во многих областях науки: например,
сельское хозяйство [3], биология сохранения живой природы [4], безопасность окружающей среды [5] — лишь некоторые из них. В биохимии с помощью этой модели описываются уравнения ферментативной кинетики — зависимости скорости протекания химической реакции от концентрации субстрата.
Наконец, мы рассмотрим дробно-рациональную модель с четырьмя параметрами, для которой будет более подробно описан метод нахождения локально D-оптимального плана, представленный в работе [6], а также найдены некоторые новые результаты, позволяющие численно находить локально D-оптимальный план в том случае, когда выразить его явно не представляется возможным. Данная модель также представляет
практический интерес, поскольку применяется в химической кинетике [7], [8], а также
в биологии и сельском хозяйстве [9], [10].
Таким образом, мы построили L-оптимальный план для полиномиальной модели,
Также мы рассмотрели нелинейную обобщенную модель Михаэлиса-Ментен с тремя параметрами
Далее, перейдя к рассмотрению дробно-рациональной модели с четырьмя параметрами:
мы подробно описали способ получения явной формулы для опорных точек в случае достаточно большого промежутка (когда d — достаточно большое число):
Наиболее интересным представляется новый результат относительно поиска локально D-оптимального плана для дробно-рациональной модели в случае малого промежутка (когда меньше некоторого критического значения ). Применив доказанную в работе [6, с. 41] теорему, мы получили метод нахождения численного решения для задачи. Был написан алгоритм на языке, реализующий данный метод.
Частью алгоритма является минимизация специальной функции, описанной в утверждении теоремы 2. Для поиска минимума этой функции были получены необходимые для минимизации ограничения (2.39) и схема построения начального приближения.8Результат работы алгоритма был показан на конкретных примерах случая малого промежутка:
для которого был найден локально D-оптимальный план:
для которого был найден локально D-оптимальный план:
⎠
