Введение 2
Основные определения и ограничения 5
Действие группы Баумслага – Солитара на R 8
Действие группы Баумслага – Солитара на R2 13
Заключение 16
Список литературы 1
Ставшее уже классическим в теории динамических систем понятие отслеживания псевдотраекторий достаточно хорошо изучено. Пожалуй, самый известный результат на эту тему состоит в том, что для диффеоморфизма риманова многообразия свойство отслеживания всегда присутствует в некоторой окрестности гиперболического множества (т.н. лемма о "–траекториях, доказанная Д.В. Аносовым, с её более общим аналогом – теоремой о семействах "–траекторий [2],[6]).
Основная идея задачи отслеживания состоит в том, чтобы соотнести "теоретическую динамическую систему (то, с чем работает математик) и "реальную динамическую систему, т.е. такую, которая возникает, когда исследователь начинает подставлять числовые значения в теоретическую
модель. Существенное различие между этими подходами заключается в том, что исследователь не может производить вычисления абсолютно точно, учитывая все знаки после запятой, т.е. обязательно присутствует некая ошибка вычислений, пусть даже небольшая. Как раз роль этой ошибки и изучается в первую очередь в теории отслеживания.
Ставится следующий вопрос (формальная постановка задачи будет дана в основном тексте работы):
Будет ли траектории динамической системы, которую мы посчитали на компьютере, соответствовать какая-нибудь "точная траектория?
Параллельно с теорией отслеживания (иногда называемому "прямым) развивалась теория обратного отслеживания (первые определения появились в работе С.Ю. Пилюгина в 1995). Основное различие между двумя теориями состоит в том, что в задаче отслеживания по приближённой траектории ищется достаточно близкая к ней точная, а при обратном отслеживании исследователя интересует: можно ли точную траекторию достаточно хорошо приблизить с помощью псевдотраектории (в которой
допускается ошибка на каждом шаге). Разумеется, множество псевдотраекторий из задачи обратного отслеживания должно быть достаточно богатым, чтобы иметь возможность приблизить все точные траектории. По определению, источником этих псевдотраекторий служит некоторый численный метод.
Как известно, классические динамические системы (каскады и потоки) можно рассматривать как действие на соответствующем пространстве группы Z (дискретный случай) и группы R по сложению (непрерывный случай). Представляется естественным обобщить это обстоятельство
и называть общей динамической системой действия произвольных групп
Оказывается, многие классические определения без труда переносятся и на общий случай. В частности, интерес представляет задача изучения свойства прямого и обратного отслеживания для общей динамической системы.
На текущий момент в этом направлении известно не очень много результатов (по сравнению с классической теорией).
Для прямого отслеживания вводится т.н. свойство экспансивности, которое ограничивает равномерную близость двух траекторий (т.е. если для некоторой константы a > 0 известно, что dist(Φ(g; x); Φ(g; y)) ≤ a, то тогда x = y). Наличие у динамической системы свойства отслеживания и экспансивности называется топологическим условием Аносова.
Известно следующее:
• (RST – Reductive Shadowing Theorem). Если сужение действия
группы на некоторую циклическую подгруппу удовлетворяет топологическому условию Аносова, то и исходное действие им обладает (и, следовательно, имеется свойство отслеживания).
3• (Пилюгин, Тихомиров, 2003, [4]) RST выполняется для группы Zp.
• (Осипов, Тихомиров, 2014, [5]) RST выполняется для виртуально –
нильпотентных групп.
• (Пилюгин, Тихомиров, 2003, [4]) для линейного действия группы Zp на
пространстве Cn:
Условие наличия свойства отслеживания эквивалентно условию наличия в каждом элементе спектра Тейлора
• (Осипов, Тихомиров, 2014, [5]) RST не выполняется для группы Баумслага – Солитара:
BS(1; n) = ha; bjba = anbi :
• (Тихомиров, 2015, [3]) Любое линейное действие конечно порождённой свободной группы с хотя бы двумя порождающими элементами
не обладает свойством отслеживания на евклидовом пространстве.
В данной работе мы продемонстрировали подход к работе с таким малоизученным свойством как обратное отслеживание для действия групп.
Мы с успехом использовали его для изучения действия той же группы в более высокой размерности. Автор уверен, что похожая схема рассуждений может быть применена для более широкого класса общих динамических систем.
Теория обратного отслеживания ещё только начинает развиваться, но уже видно, что получаемые результаты во многом сходны с результатами теории прямого отслеживания. По мнению автора настоящей работы исследователям в данной области стоит сосредоточиться как раз на проведении чёткой границы между этими двумя теориями
