Введение
Глава 1. Общая модель работы сердца . . . . . . . . . . . . . 6
Глава 2. Использование теории бифуркаций для исследования системы сердца
2.1. Бифуркация удвоения периода
2.2. Отображение Пуанкаре
2.2.1. Получение формул разложения отображения Пуанкаре в ряд Тейлора
2.2.2. Координатные функций отображения Пуанкаре . . . 14
2.2.3. Вывод одномерного отображения . . . . . . . . . . . 16
2.2.4. Проверка условий бифуркации удвоения периода . . 18
Глава 3. Управление хаосом в модели проводящей системы
сердца Билера–Рейтера
3.1. Тип хаоса в модели Билера-Рейтера
3.2. Использование максимального показателя Ляпунова для управления хаосом
3.3. Элементы теории коциклов
3.4. Диссипативность системы Билера-Рейтера . . . . . . . . . . 23
3.5. Построение системы расширения для системы Билера–Рейтера 27
3.6. Критерий устойчивости системы Билера–Рейтера . . . . . . 30
Глава 4. Численное моделирование стабилизации системы Билера–Рейтера
Заключение
Список литературы
Приложение А
Приложение B
С развитием теории динамических систем и теории бифуркаций возникло новое понимание происхождения хаотичности. В связи с этим появилась возможность детального изучения физиологических процессов, предсказание и управление их динамикой, подавление наступающего в них хаоса. Одним из важных направлений является приложение разработанной
теории к исследованию процессов возникающих в сердечной мышце [1]. В данной работе рассматривается система Билера–Рейтера [9] описывающая работу проводящей системы сердца. Данная система интересна не только с медицинской точки зрения, но и с математической, так как многие аномалии в сердце представляют собой интересные примеры колебаний, бифуркаций и хаотической динамики [19, 12].
Аритмии в сердце, такие как фибрилляции и эктопическое сердцебиение, опасны для жизни человека [1], поэтому понимание механизмов их возникновения является важной задачей имеющей огромное значение. В данном контексте наиболее трудным является контроль и предотвращение таких биологических аномалий. Но в силу того, что аритмии связаны с бифуркациями и хаосом в системе, мы можем использовать методы управления бифуркациями для контроля сердечного ритма [17, 11]. Переходим к краткому изложению работы.
В первой главе рассмотрена математическая модель Билера-Рейтера проводящей системы сердца, моделирующая работу мембраны клетки сердечного миокарда.
Во второй главе описан метод исследования возникновения бифуркации удвоения периода в системе Билера-Рейтера с помощью построения отображения Пуанкаре и дальнейшей редукцией на центральное многообразие.
В рамках третьей главы описан метод стабилизации системы в терминах максимального показателя Ляпунова. Приведены доказательство диссипативности системы с использованием метода функции Ляпунова и основные понятия теории коциклов. Сформулирован критерий устойчивости
по Ляпунову системы, с введенной в нее функцией управления. Также, получены условия на управляющую функцию, при которых система стабилизируется.
В четвертой главе осуществлена проверка того, что при введении функции управления система стабилизируется.
Цели данной работы:
1. Исследование подхода построения отображения Пуанкаре для анализа бифуркаций удвоения периода в системе Билера–Рейтера.
2. Введение функции управления и получение условия для предотвращения цепочки бифуркаций такого типа, приводящей к хаосу.
1. Представлена математическая модель Билера–Рейтера проводящей системы сердца и изложены ее наиболее важные физиологические свойства.
2. Используя теорию динамических систем и, в особенности, теорему о редукции на центральное многообразие, описан подход к построению отображения Пуанкаре для исследования бифуркации удвоения периода и седло–узловой бифуркации в системе Билера–Рейтера.
3. Построен коцикл для системы Билера–Рейтера и доказана его диссипативность. Получены оценки сингулярных чисел и функции управления, гарантирующие равномерную экспоненциальную устойчивость
системы Билера-Рейтера на инвариантном множестве.
4. Для случая седло–узловой бифуркации проведена стабилизация заданной системы с помощью почти периодической функции управления.
