Введение 3
Глава 1. Обзор литературы 5
1.1 Метод рядов Тейлора 5
1.2 Явные методы Рунге-Кутты 6
1.3 ЯМРК на основе разложений Лагранжа-Бюрмана 8
1.4 Устойчивость и жесткие задачи 10
1.5 Вывод 11
Глава 2. ЯМРК на основе разложений Лагранжа — Бюрмана 13
Глава 3. Исследование устойчивости 17
Заключение 24
Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) имеют важное значение при моделировании многих прикладных задач в разных областях знания. Однако получить точное решение задач можно лишь для некоторых классов ОДУ, для которых функция, входящая в правую часть, имеет простой вид. Для подавляющего числа задач, имеющих практическое значение, получить решение в аналитическом виде невозможно. Поэтому широкое распространение получили различные численные методы.
При построении и исследовании численных методов, мы сталкиваемся с проблемами устойчивости и точности метода. Проблема устойчивости особенно усложняется в случае жестких систем, характерных для задач химической кинетики, гидродинамики, теории электрических цепей. Известно, что для таких систем неявные методы дают лучший результат, чем явные методы. Но неявные методы имеют дополнительные сложности в реализации. В связи с этим актуально построение и исследование явных методов типа Рунге-Кутты с расширенной областью устойчивости.
В [1] предлагается подход к построению явных методов Рунге-Кутты на основе разложений Лагранжа-Бюрмана. За счет выбора функции, по которой идет разложение в формуле Лагранжа-Бюрмана, ее параметров и параметров метода Рунге - Кутты можно влиять на свойства таких методов.
Работа состоит из введения, трех глав и заключения.
Первая глава является обзорной. В ней вводятся основные понятия и определения: задача Коши, метод рядов Тейлора, явные методы Рунге-Кутты (ЯМРК), формула Лагранжа-Бюрмана и ЯМРК на ее основе, функция устойчивости, область устойчивости, жесткие задачи, схемы неявных методов, с которыми сравниваются исследуемые методы. В конце сформулированы цель и задачи работы.
Вторая глава посвящена явным методам Рунге-Кутты на основе разложений Лагранжа-Бюрмана.
Третья глава посвящена исследованию устойчивости. Получены графики областей устойчивости. Приведено сравнение значений площадей областей устойчивости. Решены тестовые задачи. Приведено сравнение с неявными методами.
В заключении приведены основные результаты работы.
Основные результаты работы:
1. Построены явные методы Рунге-Кутты на основе разложений Лагранжа-Бюрмана 1-3 этапов. Трехэтапный метод построен впервые.
2. Проведено исследование устойчивости явных методов Рунге-Кутты 1-3 этапов, построенных на основе разложений Лагранжа-Бюрмана. Показано, что область устойчивости увеличивается при увеличении значения параметра 3.
3. При решении тестовых задач проведено сравнение с неявными методами. Показано, что явные методы Рунге-Кутты на основе разложений Лагранжа-Бюрмана могут применяться для решения жестких задач.
