Введение 3
Постановка задачи 5
Обзор литературы 5
1 Обозначения и предварительные сведения 6
2 Основное содержание работы 8
2.1 Вспомогательные леммы 8
2.2 Результаты 10
Литература 19
Теория всплесков лежит на пересечении чистой математики, вычислительное математики, а также проблематики аудио- и графической обработки сигналов, сжатия и
передачи информации.
Под системами всплесков обычно понимают сжатия и сдвиги одной функции, образующие систему представления в каком-либо смысле (например, базис в L2(R)). В некоторых ситуациях системы всплесков состоят из сдвигов и сжатий нескольких функций
или целой последовательности. Понятие «всплеск» как таковое не вводится, конкретный смысл придаётся таким словосочетаниям, как «всплеск-функция», «последовательность всплеск-функций», «пространство всплесков» и т.п.
Интерес к изучению систем всплесков возник задолго до появления терминологии и
создания основ теории и был обусловлен главным образом потребностью в их использовании для обработки сигналов. В связи с этими задачами всплеск-анализ сформировался (в определённом смысле как альтернатива классическому анализу Фурье) в конце
80-х - начале 90-х годов XX века в работах С. Малла, Й. Мейера, П. Ж. Лемарье,
И. Добеши и др. Базисы всплесков имеют ряд преимуществ по сравнению с другими
базисами, используемыми в качестве аппарата приближения функций. Они обладают
так называемой время-частотной локализацией, т.е. быстро убывают на бесконечности
как сами базисные функции, так и их преобразования Фурье. Благодаря этому свойству при разложении по базису сигналов, частотные характеристики которых меняются
по времени или по пространству (таковыми являются, в частности, речевые или музыкальные сигналы, сейсмические сигналы, а также изображения), много коэффициентов
разложения при ненужных на данном пространственном или временном участке гармониках оказываются малыми и могут быть отброшены, что обеспечивает тем самым
сжатие информации. Допустимость такого отбрасывания объясняется другим важным
свойством: всплеск-разложения являются безусловно сходящимися рядами. Кроме того,
существуют эффективные алгоритмы, позволяющие быстро вычислять коэффициенты
всплеск-разложений. Всё это привлекает многочисленных специалистов в самых различных областях прикладной и инженерной математики к использованию всплесков.
С другой стороны, системы всплесков оказались полезными для решения некоторых
задач теории функций и функционального анализа. Таким образом, всплески дают тот
редкий пример, когда теория и её практическая реализация развиваются параллельно.
Толчком к развитию математической теории всплесков послужили базовые работы Й.
Мейера и С. Малла, в которых было введено понятие кратномасштабного анализа,
описан метод его построения по данной (подходящей) функции и найдены явные формулы для нахождения соответствующей всплеск-функции, сдвиги и сжатия которой
образуют ортонормированный базис. Благодаря этой теории было найдено много при-
3меров систем всплесков, у которых базисные функции являются гладкими и обладают
хорошей время-частотной локализацией, в частности, гладкие всплески с компактным
носителем. Как раз такие примеры и требовались для приложений.
