Теория оптимального управления была разработана в связи с необходимостью решать различные задачи, в которых имеются ограничения ресурсов: топлива, времени, энергии, финансов.
Под оптимальностью, в данном случае, подразумевается максимизация или минимизация некоторых свойств объекта, поиск наиболее выгодного управления системой.
Для задач оптимального управления применяются различные динамические модели, математически описывающие поведение системы. Примерами могут служить: системы обыкновенный дифференциальных уравнений, системы дифференциальных уравнений в частных производных, системы разностных уравнений, Данное направление активно развивалось в середине XX века. Известным достижением стало динамическое
программирование, разработанное Р. Белманом [1]. Большой вклад в теорию внесли такие ученые как: В. И. Зубов [2], Р. Э. Калман [3], Р. Ф. Габасов [4], Л. С. Понтрягин. Последний вывел принцип максимума [5], являющийся необходимым условием оптимальности управления. Также теория оптимального управления нашла свое применение и в экономике, например, в модели экономического роста Р. Солоу [6].
Настоящая работа основывается на модели эндогенного роста, разработанной Р. Лукасом [7], в которой производится анализ параметров с помощью принципа максимума. Задача состоит в том, чтобы исследовать поведение модели при различных параметрах и рассмотреть ее управления вне равновесных траекторий. В ходе решения получены системы дифференциальных уравнений относительно управляемых величин, аналитическое решение которых не представляется возможным.
Для решения этой проблемы используются численные методы Рунге-Кутты
В данной работе рассмотрен метод поиска оптимального управления в виде кусочно-непрерывной функции. Этот метод применялся для экономической модели эндогенного роста Лукаса.
Отметим основные результаты работы:
1. Проведен анализ модели эндогенного роста Лукаса и соответствующей задачи оптимального управления.
2. С целью математического моделирования изучен принцип
максимума Понтрягина и метод численного интегрирования Рунге-Кутты.
3. Предложено расширение модели Лукаса в плане множества допустимых значений основных параметров.
4. Проведено численное моделирование задачи параметрического анализа модели Лукаса.
5. Для модифицированной модели Лукаса разработана компьютерная программа, которая позволяет численно находить оптимальное управление для каждого набора параметров.
6. Программа протестирована на модельных примерах.
237. Основные результаты работы докладывались на XLVIII международную конференцию аспирантов и студентов "Процессы управления и уствойчивость".
