Введение 3
Глава 1. Задача двух кулоновских центров 5
1.1. Угловые кулоновские сфероидальные функции 6
1.2. Радиальные кулоновские сфероидальные функции 9
1.3. Алгоритм 10
1.4. Результаты 11
Глава 2. Адиабатическое разложение волновой функции 18
2.1. Нахождение колебательного спектра для основного электронного состояния 20
Глава 3. Решение задачи методом конечных элементов 24
3.1. Вариационная формулировка 26
3.2. Результаты вычислений 27
Заключение 31
Список литературы 32
Приложение А. Алгоритм задачи двух центров 34
Приложение Б. Фрагменты кода для вычисления функций С(R) и Н(R) 43
С самого начала развития квантовой механики молекулярный ион водорода Н2 изучался очень подробно, потому что это простейшая молекулярная система, состоящая только из одного электрона и двух одинаковых ядер. Несмотря на эту кажущуюся простоту, теоретическое исследование Н+ являлось достаточно трудной проблемой, поскольку это типичная трёхчастичная кулоновская система.
В 20-х годах успешно разрабатывались методы решения упрощённой задачи, когда система состоит из двух неподвижных ядер и движущегося электрона [1] [2]. В это время обнаружили, что для такой системы уравнение Шрёдингера допускает разделение переменных в сфероидальных координатах и позволяет вычислить электронную энергию точно. Это позволило применять адиабатические приближение к трёхчастичной системе, а также продвинуться в использовании вариационных приёмов. С развитием первых ЭВМ(60-е годы) начинаются активные расчёты спектра этой системы. В это время применяются как адиабатические, так и вариационные методы. Типичная схема адиабатического метода в это время [3]: Расчёт решений задачи двух кулоновских центров вариационным методом [1], аналитический расчёт адиабатических поправок, и, наконец, решение дифференциального уравнения второго порядка интегрированием. Также появились неадиабатические методы [4].
С последующим развитием ЭВМ расчёты улучшали свою точность, а методы становились изощрённее. Методы, применяемые в последнее время: вариационно-возмущенный метод [5], вариационный метод с использованием полного трехмерного гамильтониана тела [6] и методом, полученным из физики столкновений [7]. Для вариационных методов [8] [9] [Ю] точность достигает 10 15 и даже 10 20 для нижних уровней. Оказывается, что такие высокоточные расчёты чувствительны к отношению массы протона к массе электрона. Это даёт возможность найти это отношение, проводя высокоточное измерения оптических переходов в Н+, например между различными колебательно-вращательными уровнями электронного основного состояния 1S(7.
Целью данной работы является исследование спектра молекулярного иона водорода Н+ различными методами, а также сравнение результатов этих методов. Дипломная работа включает в себя три задачи и имеет следующую структуру:
1. В первой главе приведён метод для решения приближенной системы - состоящей из двух неподвижных ядер и движущегося электрона.
2. Во второй главе описывается решение трёхчастичной задачи с помощью адиабатического разложения волновой функции. При его реализации используются результаты, получаемые для задачи двух кулоновских центров.
3. В третьей главе описано сведение исходной задачи к вариационной для последующего её решения с помощью метода конечных элементов.
4. В приложениях приведены фрагменты исходного кода, разработанного для расчёта адиабатических поправок, а также для решения задачи двух кулоновских центров.
Таким образом, в настоящей работе были получены результаты:
• Реализован алгоритм для нахождения энергий и волновых функций задачи двух кулоновских центров, описанный в книге [11]. Сравнение с другим источником показывает (1.1), что точность вычисления энергий на небольших межъядерных расстояниях не хуже 10-9 а. ед. Из графического анализа, а также из вычисления различных поправок (во второй главе) на основе волновых функций можно сделать вывод о том, что волновые функции электрона строятся правильно.
• На основе результатов, получаемых данным алгоритмом были вычислены энергии и собственные функции иона водорода Н+ с помощью адиабатического разложения. Сравнение показывает, что нижние уровни совпадают с требуемой точностью( 10-6), однако вышележащие уровни имеют гораздо большую погрешность.
• Произведены вычисления спектра в программе ACESPA, а также сравнение с результатами из статьи [21]. Можно сделать вывод, что в целом метод даёт правильные результаты, однако получены результаты с меньшей точностью, поскольку вычисления с помощью МКЭ требовательны к ресурсам вычислительной техники. Поэтому можно утверждать, что вычисления с большими вычислительными ресурсами дали бы более точные результаты.
