1 Колебания растянутого жёстко закреплённого стержня 4
1.1 Постановка задачи 4
1.2 Численное решение 4
1.3 Метод динамического краевого эффекта 6
1.4 Решение задачи по методу Вишика и Люстерника 8
1.5 Сравнение результатов при числе волн n=1 и n=5 12
1.6 Заключение 14
2 Колебания растянутой прямоугольной пластинки 14
2.1 Постановка задачи 14
2.2 Численное решение 15
2.3 Метод динамического краевого эффекта 17
2.4 Решение задачи по методу Вишика и Люстерника 19
2.5 Сравнение результатов при числе волн n=1 и n=5, m=1 и m=5 20
2.6 Заключение 26
Список литературы 27
В диссертационном исследовании рассматриваются задачи о колебании:
1) растянутого жёстко закреплённого стержня. На основе этой задачи, имеющей известное численное решение, проводится оценка области применимости асимптотических методов Вишика и Люстерника и динамического краевого эффекта;
2) растянутой в обоих направлениях прямоугольной пластинки. Рассматриваются граничные условия шарнирного опирания по двум противоположным краям и жёсткого закрепления по двум другим. На основе этой задачи проводится оценка области применимости асимптотических методов Вишика и Люстерника и динамического краевого эффекта.
1. Рассмотрена задача о колебании растянутого жёстко закрепленного стержня. Для данной задачи сравниваются
1) численное решение,
2) решение по первому и второму приближению метода Вишика и Люстерника,
3) решение по методу динамического краевого эффекта.
Проведена оценка области применимости первого и второго приближения метода Вишика и Люстер- ника и метода динамического краевого эффекта.
Как и следовало ожидать при малом р лучше работает метод Вишика и Люстерника, созданный для решения сингулярно-возмущённых уравнений, но при увеличении р метод Вишика и Люстерника работает всё хуже по сравнению с методом динамического краевого эффекта, применяемым обычно для уравнений, в которых все члены имеют одинаковый асимптотический порядок. Преимущество метода Вишика и Люстерника заключается в том, что можно получать в теории сколь угодно точное приближение, но, как было показано выше, сложность получения того или иного приближения значительно повышается. Решение же по методу динамического краевого эффекта не имеет никаких приближений, кроме нулевого, поэтому это решение нельзя улучшить, но чем больше число волн п, тем в более широком диапазоне параметров более точным является решение, полученное по методу динамического краевого эффекта.
2. Рассмотрены задача о колебаниях растянутой пластинки в обоих направлениях при граничных условиях шарнирного опирания по 2-м противоположным краям и жёсткого закрепления по двум другим краям. Также рассмотрена задача о колебаниях растянутой пластинки в направлении, которому соответствуют граничные условия жёсткого закрепления. Для данных задач сравниваются
1) численное решение,
2) решение по первому приближению метода Вишика и Люстерника,
3) решение по методу динамического краевого эффекта.
Проведена оценка области применимости первого приближения метода Вишика и Люстерника и метода динамического краевого эффекта.
При п =1, т =1 и д < 0.1485 решение, построенное по первому приближению метода Вишика и Люстерника, ближе к точному решению, а при д > 0.1485 более точным является решение по методу динамического краевого эффекта. Вблизи точки д = 0.1485 погрешности как решения, полученного по методу Вишика и Люстерника, так и решения полученного методом динамического краевого эффекта, равны 36.3%.
При п = 5, т =1 и д < 0.02289 более точным является решение по первому приближению метода Вишика и Люстерника, а при д > 0.02289 — решение по методу динамического краевого эффекта. Вблизи точки д = 0.02289 погрешности как решения, полученного по методу Вишика и Люстерника, так и решения, полученного методом динамического краевого эффекта, равны 12.4%.
При п =1, т = 5 и д < 0.014 решение, построенное по первому приближению метода Вишика и Люстерника, ближе к точному решению, а при д > 0.014 более точным является решение по методу динамического краевого эффекта. Вблизи точки д = 0.014 погрешности как решения, полученного по методу Вишика и Люстерника, так и решения полученного методом динамического краевого эффекта, равны 4.8%.
При п = 5, т = 5 и д < 0.0135 более точным является решение по первому приближению метода Вишика и Люстерника, а при д > 0.0135 — решение по методу динамического краевого эффекта. Вблизи точки д = 0.0135 погрешности как решения, полученного по методу Вишика и Люстерника, так и решения, полученного методом динамического краевого эффекта, равны 8.4%.
Можно заметить, что первое приближение метода Вишика и Люстерника для пластин в случае растяжения в обоих направлениях при т = 1 работает хуже, чем первое приближение метода Вишика и Люстерника для стержней.
Было показано, что области применимости того или иного метода в случае растяжения в направлении, которому соответствуют граничные условия жёсткого закрепления, достаточно близки к областям применимости для случая растяжения в обоих направлениях. Тогда выводы, справедливые для случая растяжения в обоих направлениях справедливы и для случая растяжения в направлении, которому соответствуют граничные условия жёсткого закрепления.
