Первые подходы построения решений задач Сен-Венана о растяжении, кручении и изгибе естественно-закрученных стержней (ЕЗС) были сделаны в работах [1, 2]. Попытки исследования задач изгиба без привлечения дополнительных гипотез не привели к существенным результатам. Однако потребность в решении конкретных практических задач обусловила развитие прикладных теорий [3-7].
В работах [8, 9] методом однородных решений и спектральной теории операторов решение задачи Сен-Венана представлено в виде бесконечного ряда по элементарным решениям (ЭР), в котором выделена группа из двенадцати ЭР. Шесть из них описывают смещение ЕЗС как твердого тела, а напряженное состояние в поперечном сечении остальных шести ЭР таково, что их главный вектор и главный момент отличны от нуля и могут быть уравновешены усилиями, приложенными к торцам стержня. Совокупность таких элементарных решений названа «решением Сен-Венана». Это понятие включает в себя шесть элементарных решений: решения Сен-Венана задачи растяжения-сжатия, задачи кручения, задачи чистого изгиба и изгиба поперечными силами. Построение решений каждой из перечисленных задач сведено к двумерным краевым задачам на поперечном сечении ЕЗС.
Заметим, что для построения аналогичных решений для призмы Сен-Венан использовал полуобратный метод [10, 11]. В [9] для цилиндра строго доказано, что главный вектор и главный момент напряжений, отвечающие остальным решениям бесконечного ряда (не входящим в выделенную группу ЭР), равны нулю, и эта часть общего решения локализуется у торцов стержня, а обоснование принципа Сен-Венана для ЕЗС приводится в [12].
Аналитические решения всех шести задач Сен-Венана построены в виде двух членов разложений по малому параметру безразмерной «крутки» то = hr, т — относительный угол закручивания; h — характерный линейный размер сечения. В первом приближении при некоторых дополнительных упрощениях эти решения совпадают с решениями теории Кирхгофа—Клебша.
Система уравнений пространственной теории упругости сведена к системам двумерных уравнений на сечении ЕЗС [13], и для малых круток в случае эллиптического сечения сделаны оценки эффективных жесткостей.
В работах [14, 15] методом конечных элементов (МКЭ) исследована задача Сен- Венана растяжения-кручения ЕЗС, в [16]—задача о чистом изгибе, а в работе [17] строится решение краевой задачи, отвечающее задаче изгиба поперечной силой.
В настоящей работе на основе решения Сен-Венана для ЕЗС с прямоугольным поперечным сечением строится матрица жесткостей в широком диапазоне изменения величины крутки т, 0 < т < ж.
Расчеты показали, что с ростом то, при то > 4 происходит формирование круга, вписанного в сечение, для которого, как и для малых то , свойственна линейная зависимость величины нормального напряжения, пропорциональная расстоянию от нейтральной линии и имеющая противоположные знаки в точках, симметричных относительно нее. Это, на наш взгляд, подтверждает гипотезу автора [13] о том, что с ростом т работает ядро сечения, которое стягивается ко вписанному в сечение кругу, что является следствием быстрой осцилляции боковой поверхности ЕЗС.
