Введение 3
Постановка задачи 5
Обзор литературы 7
Глава 1. Линейные системы 9
1.1 Линейные стационарные системы с постоянным запаздыванием 9
1.2 Линейные системы с линейно возрастающим запаздыванием 11
Глава 2. Однородные дифференциально-разностные уравнения 14
2.1 Достаточные критерии асимптотической устойчивости и неустойчивости 14
2.2 Область асимптотической устойчивости 16
Глава 3. Численное моделирование 22
Выводы 25
Заключение 26
Список литературы 27
Современное математическое моделирование процессов и систем часто основано на теории дифференциальных уравнений. Широко известным примером физической модели с использованием этого математического аппарата является второй закон Ньютона.
Однако далеко не все процессы происходят мгновенно, поэтому на скорость порой влияет не текущее, а некоторое прошлое состояние системы. Здесь появляются дифференциальные уравнения с запаздыванием, которые учитывают, например, задержку реакции водителя при моделировании динамики транспортных потоков, время на принятие решений и траспортировку в цепях поставок, взросление особей при анализе динамики популяций.
Наиболее изученным классом такой абстракции являются линейные системы с постоянным запаздыванием. Для них известны способы построения решения и некоторые критерии устойчивости.
При исследовании сложных систем часто рассматривают не её саму, а некоторое линейное приближение. Однако возможна ситуация, когда первое в широком смысле приближение не содержит линейных членов, в этом случае и появляются однородные уравнения порядка выше 1.
Запаздывания также могут быть различными. Выше упоминались постоянные запаздывания, это наиболее частый и простой их вид, а потому наиболее изученный. Тем не менее в некоторых случаях запаздывание возрастает с течением времени, например, в [11] построена математическая модель смесительного бака в виде системы линейных уравнений с запаздыванием, пропорциональным времени. Кроме того в [12] для описания движения по кольцевой дороге также используют линейно возрастающее запаздывание.
В данной работе исследуется устойчивость одного класса однородных дифференциальных уравнений с линейно возрастающим запаздыванием, который появляется, например, при математическом моделировании работы информационного сервера в [10].
Работа состоит из трёх глав. В первой главе рассмотрены функционалы полного типа для линейных систем с постоянным и линейно возрастающим запаздываниями. Эти функционалы используются при исследовании устойчивости. Во второй главе рассматриваются однородные уравнения с запаздыванием, пропорциональным времени, и представлен основной результат этой работы. В третьей главе предложен метод численного интегрирования однородного уравнения с линейным запаздыванием. В заключении подводятся итоги исследования, формируются выводы по рассматриваемой теме.
В работе доказана устойчивость в целом для нулевого решения однородного уравнения с линейным запаздыванием при некоторых ограничениях на коэффициенты этого уравнения.
Также предложен метод для численного построения решения данной задачи при других условиях.
