ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ СВЕТА ПРИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ГЕНЕРАЦИИ
|
1 Введение 3
2 Корреляционные функции и их свойства 8
2.1 Фурье преобразование 13
2.2 Поля в лазерах, временные и пространственные корреляции света 14
3 Вывод эффективного гамильтониана 22
3.1 Уравнение Шрёдингера с возмущённым Гамильтонаном в представлении взаимодействия 22
3.1.1 Разложение волновой функции по степеням возмущения 23
3.1.2 Оператор эволюции системы 23
3.1.3 Амплитуда рассеяния 24
3.2 Эффективный гамильтониан 26
4 Оператор рассеяния 30
4.1 Обозначения 30
4.2 Математическое описание 31
4.3 Разные представления 31
4.4 Теория рассеяния 33
4.5 Конкретная система 33
5 Заключение 34
Литература 36
2 Корреляционные функции и их свойства 8
2.1 Фурье преобразование 13
2.2 Поля в лазерах, временные и пространственные корреляции света 14
3 Вывод эффективного гамильтониана 22
3.1 Уравнение Шрёдингера с возмущённым Гамильтонаном в представлении взаимодействия 22
3.1.1 Разложение волновой функции по степеням возмущения 23
3.1.2 Оператор эволюции системы 23
3.1.3 Амплитуда рассеяния 24
3.2 Эффективный гамильтониан 26
4 Оператор рассеяния 30
4.1 Обозначения 30
4.2 Математическое описание 31
4.3 Разные представления 31
4.4 Теория рассеяния 33
4.5 Конкретная система 33
5 Заключение 34
Литература 36
Рождением нелинейной оптики считается 1961 год. В 1961 году Франкен и другие провели первый эксперимент по удвоению частоты света на рубидевом лазере [1]. Они обнаружили, что свет из инфракрасного диапазона переводится в ультрафиолетовый. Этот эксперимент положил начало многим экспериментам по получению из волны одной частоты волн с другими частотами, включая эксперимент с получением гармоник высокого порядка в аргоне [2].
В общем смысле параметрическе преобразование - это процессы, проходящие с периодическим изменением параметра системы. В квантовой оптике параметрическое преобразование - преобразование частоты электромагнитного поля за счёт взаимодействия электромагнитного поля и вещества. Рассмотрим взаимодействие электромагнитного поля и вещества с точки зрения классической и квантовой физики. С точки зрения классической физики среда под действием внешнего поля поляризуется, электроны возбуждаются и растягиваются относительно атомных ядер, и диполи колеблятся на частоте поля, являясь источником вторичных волн. Также из-за своей нелинейности в приближении квадратичной поляризованности возникают колебания диполей на удвоенных, суммарных и разностных частотах, а в приближениях более высокого порядка колебания с частотами соответствующего порядка и, соответственно, диполи являются источниками вторичных волн на соответствующих частотах. Таким образом, мы преобразовываем частоту.
С точки зрения квантовой теории в линейном приближении по поляризованности происходит поглощение средой соответствующих квантов энергии и их переизлуче- ние. С учётом квадратичной нелинейности среды поглощаются два фотона, одинаковых или разных, а потом переизлучаются, получая вторичные волны на соответствующих частотах. Аналогично происходит в более старших порядках. В квантовой оптике это называется параметрическим резонансом. Другими словами, ’’параметрический” означает переход энергии от волны накачки к сигнальной волне через среду. При этом состояние среды остаётся постоянным.
Подобные параметрические преобразования можно использовать для разных целей. Например, перенос спектра в оптическую область (параметрическое преобразование частоты) - на нелинейную среду направляются две волны, которые называются опорная(волна накачки) и сигнальная, фотоны которых преобразуются в холостую волну с суммарной частотой. Опорная, сигнальная и холостая волны будут удовлетворять условиям пространственного и фазового синхронизма:
kp + ks = ki (1.1)
Wp + Ws = Wi (1.2)
где kp, wp - волновой вектор и частота волны накачки, ks, ws - волновой вектор и частота сигнальной волны, ki5 wi - волновой вектор и частота холостой волны.
Также в пример можно привести уширение спектрального диапазона (параметрическая генерация, генерация высших гармоник), усиление волны на данной частоте (параметрическое усиление), спонтанное параметрическое рассеяние (распад фотона на два из-за взаимодействия с так называемыми темновыми фотонами). Темновые фотоны- это фотоны вакуумных мод. Для всех этих процессов должны выполняться условия пространственного и фазового синхронизма.
Рассмотрим подробнее данные процессы. При параметрической генерации фотон накачки с частотой wp и волновым вектором kp распадается на два фотона: наблюдаемый с частотой ws и волновым вектором ks и холостой с частотой wi и с волновым вектором ki. При этом выполняются условия:
Шр — ws + Ui (1.3)
kp — ks + ki (1.4)
При генерации высших гармоник n фотонов волны накачки с частотой ш и волновым вектором k преобразуются в фотон с частотой пш с волновым вектором nk.
При параметрическом усилении на нелинейную среду направляются интенсивная волна накачки шр и волновым вектором kp и слабая сигнальная волна с частотой ws и волновым вект ором ks. Они преобразуются в холостую волн у с частотой wi и волновым вектором ki.
Ui — Шр + Us (1.5)
ki — kp + ks (1.6)
Дальше холостая волна взаимодействует с волной накачки с сохранением условий (1.5) и (1.6) и образуются фотоны сигнальной волны. Таким образом, энергия волны накачки через холостую волну передаётся сигнальной. В 1965 году С. А. Ахматовым, А. И. Ковригиным и другими в МГУ был проведён эксперимент по усилению сигнальной волны волной накачки в кристалле КПД(КН2РО4)[3].
При спонтанном параметрическом рассеянии волна накачки с частотой шр и волновым вектором kp преобразуется в две волны: наблюдаемую с частотой ws и волновым вектором ks и холостую с частотой wi и с волновым вектором ki. При этом выполняются условия: с частотами ws и и волновыми векторами ks и k^.
Шр = l^s + Wi (1-7)
кр = ks + ki (1.8)
Если получившиеся фотоны обладают одинаковой поляризацией, то это спонтанное параметрическое рассеяние первого типа, если разной, то второго.
В 1965 году Гиордмэйн и Роберт получили гармонические когерентные параметрические осцилляции (распад фотона волны накачки на два фотона) [4] в кристалле ниобата натрия. Для этого им нужен был усилитель. В качестве усилителя они использовали резонатор. Получившиеся фотоны называются сигнальным и холостым.
Опишем эволюцию сигнальной и холостой волн. Изначально они находятся в вакуумном состоянии
|0i > |0s >
Мы вводим эффективный гамильтониан [5]
H = h(kap аа + k*apaias) (1.9)
где ap - оператор уничтожения фотона волны накачки, ар _ оператор рождения фотона сигнальной волны, ар - оператор рождения фотона холостой волны, где ap - оператор рождения фотона волны накачки, as - оператор уничтожения фотона сигнальной волны, ai - оператор уничтожения фотона холостой волны.
Подействуем оператором развития
U (t) = exp (—hHt) (1.10)
на начальную волновую функцию системы
Фгп >— |ap > |0i > 0s > (1-11)
где |ap > - когерентное состояние с комплексной амплитудой
а — |a| exp id (1.12)
и получим
^out, >— и(t)[^in >— ap > ф > (1.13)
где волновую функцию можно представить в виде разложения Шмидта [5]
|^ >= |0 > + ^'V 1 > |1m > (Ы4)
Разложение (1-14) означает, что рождаются пары фотонов холостой и сигнальной волн |1m. > |1ms >, назывемые бифотонами, причём Хт - вероятность рождения бифотона. Если в разложении (1.14) одно слагаемое, то говорят, поле находится в факторизованном состоянии, если больше, чем одно, то говорят, поле находится в перепутанном состоянии.
В восьмидесятых две группы в Токио и в Нью-Йорке получили независимо друг от друга [6], [7] спонтанный распад фотона в кристалле на два фотона, которые как и в случае с когерентными оптическими осцилляциями, называются сигнальным и холостым (по другому процесс называется спонтанное параметрическое рассеяние или параметрическая флюорресценция). Этот эффект примечателен тем, что распад происходит из-за взаимодействия фотона накачки с холостыми темновыми фотонами. Образовавшаяся поле бифотонов тоже находится в квантовой перепутанности.
В 1964 году Робль рассмотрел прямое каскадное гиперпараметрическое рассеяние (ГПР) [8]. Впервые оно было получено Грибергом и другими в кристалле сульфида камдия в 1968 году [9]. Его можно описать кубической поляризацией. При ГПР на нелинейную среду подаются две волны накачки с частотами Tip и ш2р и волновыми векторами kip и к2р превращаются в волны с частотами Ts и т и волновыми векторами ks и ki. Причём
Tip + T2p = Ts + Ti (1.15)
kip + k2p = ks + ki (1-16)
В таком процессе наблюдается генерация третьей гармоники.
Генерация третьей гармоники была получена в 1967 году Дж. X. К. Нью и Дж. Ф. Вардом в таких газах как гелий, неон, аргон, криптон, неон [10]. Третья гармоника была предсказана Мэйкером, Терхуне и Саваджем. Третью гармонику тоже описывается кубической поляризацией. Как было сказано выше, среда поглащает три фотона с частотой т и испускает один с частотой 3т.
Все описанные выше эффекты являются когерентными, то есть разность фаз в них считается постоянной, волны монохроматичны и направлены. Параметрическое взаимодействие световых волн в нелинейных средах, как правило, слабое, высокая вероятность СПР достигается лишь при больших временах взаимодействия(гораздо больше периода колебаний) и при размерах взаимодействия гораздо больше длины волны излучения. При этом нужна когерентность взаимодействующих мод, чтобы фазы волн в разные моменты пространства-времени складывались синфазно [5]. Для этого необходимо, чтобы в нелинейной среде были выполнены условия пространственного и фазового синхронизма, то есть сумма волновых векторов и частот волн, поглощённых нелинейной средой равнялась сумме волноых векторов и частот волн, сгенерированных средой.
^^пт/ mws (1.17)
l=1 s=1
^^nki mks (1.18)
Это возможно только в одноосных кристаллах с использованием второй гармоники необыкновенных волн.
Кристалл - это анизотропная среда, то есть среда, в которой направление распространения света зависит от поляризации падающего света. Другими словами, у кристалла диэлнетрическая проницаемость - тензор, а не число. То есть он представляется матрицей. Её можно диагонализовать, что физически означает, выделить собственные оси кристалла. Компоненты вектора поляризованности P по этим осям пропорциональны соответствующим компонентам вектора напряжённости E. Кристаллы бывают одноосными и двуосными. У одноосного кристалла две компоненты диагонализованного тензора (обозначим их ежж, tyy] совпадают.
(1.19)
Третья ось кристалла называется собственной или оптической, причём
zz — бн — ( xx (1.20)
Коэффициент преломления волны, распространяющейся по его собственной оси равен
Пе — Д (1-21)
Коэффициент преломления волны, распространяющейся по его собственной оси равен
По — Д (1.22)
Если волна в кристалле распространяется перпендикулярно собственной оси, то она называется обыкновенной, и её фазовая скорость равна
_ c , .
Vph — — 1.23
П0
c - скорость света в вакууме. При изменении угла распространения относительно собственной оси 0 её фазовая скорость начнёт меняться в зависимости от угла с собственной осью. Волна, не перпендикулярная собственной оси, называется необыно- венной. Обеспечить выполнение пространственного синхронизма можно с помощью угловой зависимости коэффициента преломления необыкновенных волн.
П(0) — / ■„1 2» (1'24>
/ sin2 в I cos2 в
V( Я1 + ех )
У двуосного кристалла не совпадают все три показателя преломления. С помощью них тоже можно создать условия пространственного и фазового синхронизма.
Дипломная работа организована следующим образом. В главе 2 рассмотрены корреляционные функции и их свойства, в главе 3 дан вывод эффективного гамильтониана, в 4 главе проведён расчёт интенсивности поля накачки для экспериментальной установки, и в конце написано заключение.
В общем смысле параметрическе преобразование - это процессы, проходящие с периодическим изменением параметра системы. В квантовой оптике параметрическое преобразование - преобразование частоты электромагнитного поля за счёт взаимодействия электромагнитного поля и вещества. Рассмотрим взаимодействие электромагнитного поля и вещества с точки зрения классической и квантовой физики. С точки зрения классической физики среда под действием внешнего поля поляризуется, электроны возбуждаются и растягиваются относительно атомных ядер, и диполи колеблятся на частоте поля, являясь источником вторичных волн. Также из-за своей нелинейности в приближении квадратичной поляризованности возникают колебания диполей на удвоенных, суммарных и разностных частотах, а в приближениях более высокого порядка колебания с частотами соответствующего порядка и, соответственно, диполи являются источниками вторичных волн на соответствующих частотах. Таким образом, мы преобразовываем частоту.
С точки зрения квантовой теории в линейном приближении по поляризованности происходит поглощение средой соответствующих квантов энергии и их переизлуче- ние. С учётом квадратичной нелинейности среды поглощаются два фотона, одинаковых или разных, а потом переизлучаются, получая вторичные волны на соответствующих частотах. Аналогично происходит в более старших порядках. В квантовой оптике это называется параметрическим резонансом. Другими словами, ’’параметрический” означает переход энергии от волны накачки к сигнальной волне через среду. При этом состояние среды остаётся постоянным.
Подобные параметрические преобразования можно использовать для разных целей. Например, перенос спектра в оптическую область (параметрическое преобразование частоты) - на нелинейную среду направляются две волны, которые называются опорная(волна накачки) и сигнальная, фотоны которых преобразуются в холостую волну с суммарной частотой. Опорная, сигнальная и холостая волны будут удовлетворять условиям пространственного и фазового синхронизма:
kp + ks = ki (1.1)
Wp + Ws = Wi (1.2)
где kp, wp - волновой вектор и частота волны накачки, ks, ws - волновой вектор и частота сигнальной волны, ki5 wi - волновой вектор и частота холостой волны.
Также в пример можно привести уширение спектрального диапазона (параметрическая генерация, генерация высших гармоник), усиление волны на данной частоте (параметрическое усиление), спонтанное параметрическое рассеяние (распад фотона на два из-за взаимодействия с так называемыми темновыми фотонами). Темновые фотоны- это фотоны вакуумных мод. Для всех этих процессов должны выполняться условия пространственного и фазового синхронизма.
Рассмотрим подробнее данные процессы. При параметрической генерации фотон накачки с частотой wp и волновым вектором kp распадается на два фотона: наблюдаемый с частотой ws и волновым вектором ks и холостой с частотой wi и с волновым вектором ki. При этом выполняются условия:
Шр — ws + Ui (1.3)
kp — ks + ki (1.4)
При генерации высших гармоник n фотонов волны накачки с частотой ш и волновым вектором k преобразуются в фотон с частотой пш с волновым вектором nk.
При параметрическом усилении на нелинейную среду направляются интенсивная волна накачки шр и волновым вектором kp и слабая сигнальная волна с частотой ws и волновым вект ором ks. Они преобразуются в холостую волн у с частотой wi и волновым вектором ki.
Ui — Шр + Us (1.5)
ki — kp + ks (1.6)
Дальше холостая волна взаимодействует с волной накачки с сохранением условий (1.5) и (1.6) и образуются фотоны сигнальной волны. Таким образом, энергия волны накачки через холостую волну передаётся сигнальной. В 1965 году С. А. Ахматовым, А. И. Ковригиным и другими в МГУ был проведён эксперимент по усилению сигнальной волны волной накачки в кристалле КПД(КН2РО4)[3].
При спонтанном параметрическом рассеянии волна накачки с частотой шр и волновым вектором kp преобразуется в две волны: наблюдаемую с частотой ws и волновым вектором ks и холостую с частотой wi и с волновым вектором ki. При этом выполняются условия: с частотами ws и и волновыми векторами ks и k^.
Шр = l^s + Wi (1-7)
кр = ks + ki (1.8)
Если получившиеся фотоны обладают одинаковой поляризацией, то это спонтанное параметрическое рассеяние первого типа, если разной, то второго.
В 1965 году Гиордмэйн и Роберт получили гармонические когерентные параметрические осцилляции (распад фотона волны накачки на два фотона) [4] в кристалле ниобата натрия. Для этого им нужен был усилитель. В качестве усилителя они использовали резонатор. Получившиеся фотоны называются сигнальным и холостым.
Опишем эволюцию сигнальной и холостой волн. Изначально они находятся в вакуумном состоянии
|0i > |0s >
Мы вводим эффективный гамильтониан [5]
H = h(kap аа + k*apaias) (1.9)
где ap - оператор уничтожения фотона волны накачки, ар _ оператор рождения фотона сигнальной волны, ар - оператор рождения фотона холостой волны, где ap - оператор рождения фотона волны накачки, as - оператор уничтожения фотона сигнальной волны, ai - оператор уничтожения фотона холостой волны.
Подействуем оператором развития
U (t) = exp (—hHt) (1.10)
на начальную волновую функцию системы
Фгп >— |ap > |0i > 0s > (1-11)
где |ap > - когерентное состояние с комплексной амплитудой
а — |a| exp id (1.12)
и получим
^out, >— и(t)[^in >— ap > ф > (1.13)
где волновую функцию можно представить в виде разложения Шмидта [5]
|^ >= |0 > + ^'V 1 > |1m > (Ы4)
Разложение (1-14) означает, что рождаются пары фотонов холостой и сигнальной волн |1m. > |1ms >, назывемые бифотонами, причём Хт - вероятность рождения бифотона. Если в разложении (1.14) одно слагаемое, то говорят, поле находится в факторизованном состоянии, если больше, чем одно, то говорят, поле находится в перепутанном состоянии.
В восьмидесятых две группы в Токио и в Нью-Йорке получили независимо друг от друга [6], [7] спонтанный распад фотона в кристалле на два фотона, которые как и в случае с когерентными оптическими осцилляциями, называются сигнальным и холостым (по другому процесс называется спонтанное параметрическое рассеяние или параметрическая флюорресценция). Этот эффект примечателен тем, что распад происходит из-за взаимодействия фотона накачки с холостыми темновыми фотонами. Образовавшаяся поле бифотонов тоже находится в квантовой перепутанности.
В 1964 году Робль рассмотрел прямое каскадное гиперпараметрическое рассеяние (ГПР) [8]. Впервые оно было получено Грибергом и другими в кристалле сульфида камдия в 1968 году [9]. Его можно описать кубической поляризацией. При ГПР на нелинейную среду подаются две волны накачки с частотами Tip и ш2р и волновыми векторами kip и к2р превращаются в волны с частотами Ts и т и волновыми векторами ks и ki. Причём
Tip + T2p = Ts + Ti (1.15)
kip + k2p = ks + ki (1-16)
В таком процессе наблюдается генерация третьей гармоники.
Генерация третьей гармоники была получена в 1967 году Дж. X. К. Нью и Дж. Ф. Вардом в таких газах как гелий, неон, аргон, криптон, неон [10]. Третья гармоника была предсказана Мэйкером, Терхуне и Саваджем. Третью гармонику тоже описывается кубической поляризацией. Как было сказано выше, среда поглащает три фотона с частотой т и испускает один с частотой 3т.
Все описанные выше эффекты являются когерентными, то есть разность фаз в них считается постоянной, волны монохроматичны и направлены. Параметрическое взаимодействие световых волн в нелинейных средах, как правило, слабое, высокая вероятность СПР достигается лишь при больших временах взаимодействия(гораздо больше периода колебаний) и при размерах взаимодействия гораздо больше длины волны излучения. При этом нужна когерентность взаимодействующих мод, чтобы фазы волн в разные моменты пространства-времени складывались синфазно [5]. Для этого необходимо, чтобы в нелинейной среде были выполнены условия пространственного и фазового синхронизма, то есть сумма волновых векторов и частот волн, поглощённых нелинейной средой равнялась сумме волноых векторов и частот волн, сгенерированных средой.
^^пт/ mws (1.17)
l=1 s=1
^^nki mks (1.18)
Это возможно только в одноосных кристаллах с использованием второй гармоники необыкновенных волн.
Кристалл - это анизотропная среда, то есть среда, в которой направление распространения света зависит от поляризации падающего света. Другими словами, у кристалла диэлнетрическая проницаемость - тензор, а не число. То есть он представляется матрицей. Её можно диагонализовать, что физически означает, выделить собственные оси кристалла. Компоненты вектора поляризованности P по этим осям пропорциональны соответствующим компонентам вектора напряжённости E. Кристаллы бывают одноосными и двуосными. У одноосного кристалла две компоненты диагонализованного тензора (обозначим их ежж, tyy] совпадают.
(1.19)
Третья ось кристалла называется собственной или оптической, причём
zz — бн — ( xx (1.20)
Коэффициент преломления волны, распространяющейся по его собственной оси равен
Пе — Д (1-21)
Коэффициент преломления волны, распространяющейся по его собственной оси равен
По — Д (1.22)
Если волна в кристалле распространяется перпендикулярно собственной оси, то она называется обыкновенной, и её фазовая скорость равна
_ c , .
Vph — — 1.23
П0
c - скорость света в вакууме. При изменении угла распространения относительно собственной оси 0 её фазовая скорость начнёт меняться в зависимости от угла с собственной осью. Волна, не перпендикулярная собственной оси, называется необыно- венной. Обеспечить выполнение пространственного синхронизма можно с помощью угловой зависимости коэффициента преломления необыкновенных волн.
П(0) — / ■„1 2» (1'24>
/ sin2 в I cos2 в
V( Я1 + ех )
У двуосного кристалла не совпадают все три показателя преломления. С помощью них тоже можно создать условия пространственного и фазового синхронизма.
Дипломная работа организована следующим образом. В главе 2 рассмотрены корреляционные функции и их свойства, в главе 3 дан вывод эффективного гамильтониана, в 4 главе проведён расчёт интенсивности поля накачки для экспериментальной установки, и в конце написано заключение.
В введении расмотрены параметрические процессы: перенос спектра в оптическую область, параметрическая генерация, генерация высших гармоник, параметрическое усиление, параметрическое рассеяние, спонтанное параметрическое рассеяние, гиперпараметрическое рассеяние. В ходе спонтанного параметрического рассеяния рождаются перепутанные пары фотонов, которые могут быть использованы в качестве строительных блоков в квантовой оптике и квантовой информатике. Также приведены экспериментальные подтверждения некоторых из эих процессов. Ещё в ведении продемонстрировано описание света и вещества эффективным гамильтонианом, что облегчает описание.
Во второй части рассмотрены корреляции, корреляционные функции и их свойства. Выходное поле кольцевого резонатора получено в виде суммы огибающих. В виде суммы огибающих представлено решение уравнения Гайзенбрга-Ланжевена, описывающее огибающую импульса сигнальной волны в лазере. Огибающие представлены в виде суммы квадратур, потому что квадратуры можно измерить на эксперименте. Найдены временные корреляции квадратур. Показано, как с помощью схемы скрытых изображений можно измерить пространственные корреляции света.
В третьей части дан вывод эффективного гамильтониана. В четвёртой рассмотрены представления Шрёдингера, взаимодействия (Дирака) и Гейзенберга описания волновой функции и квантово-механических операторов. Рассмотрен оператор рассеяния, как оператор перехода из представления Гейзенберга в представление взаимодействия. Эффективный гамильониан и оператор рассения позволяют вычислять вероятность трёхфотонных процессов в акте рассеяния фотона на веществе.
Во второй части рассмотрены корреляции, корреляционные функции и их свойства. Выходное поле кольцевого резонатора получено в виде суммы огибающих. В виде суммы огибающих представлено решение уравнения Гайзенбрга-Ланжевена, описывающее огибающую импульса сигнальной волны в лазере. Огибающие представлены в виде суммы квадратур, потому что квадратуры можно измерить на эксперименте. Найдены временные корреляции квадратур. Показано, как с помощью схемы скрытых изображений можно измерить пространственные корреляции света.
В третьей части дан вывод эффективного гамильтониана. В четвёртой рассмотрены представления Шрёдингера, взаимодействия (Дирака) и Гейзенберга описания волновой функции и квантово-механических операторов. Рассмотрен оператор рассеяния, как оператор перехода из представления Гейзенберга в представление взаимодействия. Эффективный гамильониан и оператор рассения позволяют вычислять вероятность трёхфотонных процессов в акте рассеяния фотона на веществе.
