Введение 4
Постановка задачи 6
Поиск положения равновесия через матрицу направляющих косинусов 9
Поиск положения равновесия через углы Эйлера 16
Нахождения первого интеграла 18
Линеаризация уравнений 20
Заключение 21
Список использованных источников 22
Космические тросовые системы - это очень перспективное направление в космодинамике. Многие российские и зарубежные ученые ведут исследования в этой области [Hoyt, 2009, Aslanov, 2016]. В первую очередь отметим монографию отечественных ученых В.В. Белецкого и Е.М. Левина [Белецкий, 1990], в которой были исследованы многие задачи о движении космических тросовых систем. Один из важных разделов в изучении космической тросовой системы - это электродинамические тросовые системы. Электродинамической тросовой системой мы будем называть систему, которая содержит проводящий трос, по которому протекает ток [Белецкий, 1990]. Тросовая система может быть изолированной [Ishige, 2004] или неизолированной [Zhong, 2013]. Длина троса может варьироваться и может достигать до 20 км [Banks, 1981]. Изучение электродинамических тросовых систем открывает новые возможности в освоении космоса. Такую систему можно использовать как двигатель и как генератор электрической энергии. При движении троса по орбите с устройствами контакта с плазмой в тросе будет индуцироваться электродвижущая сила [less, 2002. I], которую можно использовать для повышения или понижения космического аппарата на орбите [Белецкий, 1990]. Также проходят исследования в направлении реализации космического лифта [Ледков, 2014; Белецкий, 1990]. Также изучается возможность использования космической тросовой системы для измерения параметров гравитационного и магнитного полей Земли и параметров атмосферы на низких орбитах [Colombo, 1975]. Итальянские ученые и сотрудники национального управления по аэронавтике и исследованию космического пространства одни из первых в 1992 попытались развернуть трос на длинную дистанцию в космосе, но из-за механической неисправности трос был выпущен на расстояние около 260 метров вместо 21 километра [Dobrowolny, 1993]. Успешное развертывание троса было элегантно продемонстрировано чуть позже в миссии SEDS [Johnson, 2000] и TSS-1R, в обоих случаях трос был развернут на расстояние около 19 км [Stone, 1998] . Диаметр троса очень мал и может быть 2 мм [Yamaigiwa, 2005]. Вдобавок электродинамические тросовые системы являются выгодными для различных транспортных операций. Одной из самых актуальных задач является уборка космического мусора [Heide, 2001]. Согласно эффекту Кесслера [Kessler, 1978] взаимные столкновения космического мусора могут вызвать лавинообразный рост числа обломков, что в результате затруднит вывод новых космических аппаратов на орбиту Земли. Существуют несколько концепций уборки космического мусора [Philips, 2012; Aslanov, 2014; Hoyt, 1999].
Космические аппараты будут примыкать к нефункционирующим спутникам с помощью гарпуна. Для «выстрела» используется сжатый газ. Давление регулируется для возможности изменения скорости от 4 до 80 атмосфер. Скорость гарпуна будет достигать 20-90 м/c. [Forshaw, 2016]. А малая масса, низкая стоимость и высокая надежность позволит им конкурировать в сфере уборки космического мусора.
В ходе диссертационной работы на основе динамических уравнений Эйлера была построена простейшая математическая модель и модель, учитывающая градиентность магнитного поля Земли. На электромагнитную тросовую систему действуют момент Ампера, момент Лоренца и гравитационный момент. Математическая модель была построена с помощью матрицы направляющих косинусов и углов Эйлера. При анализе математических моделей было установлено, что положение равновесия, соответствующее значению y3 = 1, существует лишь при условии z2 1 = z2 2. Также получен первый интеграл движения, с помощью которого определяются достаточные условия устойчивости. На основе этого была проведена линеаризация уравнений и оценка малых колебаний. Сделан вывод, что при увеличении жесткости системы возрастает частота колебаний. Это доказывает правильный выбор установки заряженных поверхностей на концах троса, что соответствует теореме Томпсона и Тета.
