Введение. Обоснование аномального скейлинга остаётся одной из нерешённых проблем теории развитой турбулентности. Достигнутые успехи в этой области связаны с использованием упрощённой модели турбулентного перемешивания пассивной примеси Крейчнана. В работах [1, 2] показано, что в пространствах высокой размерности d ^ ж показатели аномального скейлинга обращаются в нуль и становится справедливой теория Колмогорова. Показатели аномального скейлинга были вычислены в порядке O(1/d). Другим способом расчёта показателей в рамках модели Крейчнана является использование е-разложения. В работах [3, 4] эти показатели вычислены в порядке О(е), а использование техники ренормгруппы позволило довести точность е-разложения до третьего порядка теории возмущений [5]. К сожалению, ни один из этих приёмов не удавалось до сих пор применять в стохастической теории турбулентности из-за больших технических трудностей вычислений, поэтому в работах [6-8] была сделана попытка провести ренормгрупповой анализ и е-разложение в пределе d — ж пространств высокой размерности. Расчёт диаграмм Фейнмана при этом существенно упрощается — большая часть диаграмм обращается в нуль в пределе d — ж. Это позволило рассчитать ренормгрупповые функции в трёхпетлевом приближении (третий порядок теории возмущений) [6]. В идеале при таком подходе хотелось бы просуммировать е-разложение и получить ответ в главном порядке при d — ж, как это сделано при N — ж в 1/N-разложении в теории критических явлений (N — число компонент параметра порядка). По результатам трёхпетлевого расчёта в [6] предложен вариант суммирования ^-функции по форме, совпадающий с точным результатом РГ-расчёта модели спектрального переноса энергии Гейзенберга [9]. Проверкой справедливости такого суммирования мог бы стать четырёхпетлевой расчёт, однако число диаграмм Фейнмана в этом случае остаётся весьма большим даже с учётом упрощений, учитываемых в [6].
В представляемой работе на основе анализа диаграмм Фейнмана в первых трёх порядках теории возмущений показано, что помимо упрощений, использованных при вычислении диаграмм в [6], существует дополнительный механизм, существенно уменьшающий число ненулевых диаграмм. Это даёт надежду продвинуться в расчётах по теории возмущений и, возможно, сформулировать замкнутую упрощённую точно решаемую модель, как это сделано в главном порядке 1/N-разложения в теории критических явлений (так называемая сферическая модель).
Полученные результаты демонстрируют возможность существенного сокращения количества диаграмм Фейнмана при ренормгрупповом расчёте стохастической модели турбулентности в пространствах высокой размерности. Чтобы в полной мере воспользоваться этой возможностью, необходимо сформулировать принцип отбора диаграмм, приводящий к результатам, частным случаем которых являются трёхпетлевые диаграммы (16). Мы надеемся осуществить такую программу в будущем, а пока сформулируем некоторые наблюдения, следующие из полученных трёхпетлевых результатов:
1. Расходящиеся подграфы в существенных диаграммах представлены лишь в виде единственной вставки однопетлевого подграфа определенного типа (первая диаграмма (14)), двухпетлевые расходящиеся подграфы отсутствуют.
2. В существенных трёхпетлевых диаграммах представлены не все топологически возможные варианты, отсутствуют диаграммы вида
Рисунок.
3. Нетривиальным фактом является сокращение топологически различных диаграмм, например (18).
