Построение и исследование С-оптимальных планов для ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ С НУЛЕВЫМ СВОБОДНЫМ ЧЛЕНОМ

Введение 5
Глава 1. Основные понятия 7
1.1. Регрессионная модель 7
1.2. Информационная матрица и критерий D-оптимальности 8
1.3. Критерий С-оптимальности 8
1.3.1. Теорема Элвинга 9
Глава 2. Планы экстраполяции 11
2.1. Планы экстраполяции для классической полиномиальной модели 11
2.2. Построение планов экстраполяции для моделей произвольной нечетной степени 12
2.3. Случай п = 2 13
2.4. Случай п = 4 14
2.4.1. Нахождение опорных точек плана 14
2.4.2. Нахождение весов 15
2.5. Построение планов экстраполяции для моделей произвольной четной сте­пени 15
2.6. Построение планов экстраполяции для множества планирования в виде произвольного отрезка 17
Глава 3. Планы для оценивания производной 19
3.1. Описание задачи 19
3.2. Решение задачи размерности 2 20
3.3. Решение задачи размерности 3 21
3.3.1. Вариант первый 22
3.3.2. Второй вариант 22
3.3.3. Третий вариант 22
3.3.4. Четвертый вариант 23
3.4. Решение задачи размерности 4 25
Глава 4. Сравнение С—оптимальных планов с D—оптимальным 29
4.1. Сравнение плана экстраполяции 29
4.1.1. Сравнение по С-критерию оптимальности 29
4.1.2. Сравнение по D-критерию оптимальности 29
4.2. Сравнение плана оценивания производной 30
Заключение 32
Список литературы 33
Купить

В течение долгого времени проведение эксперимента для получения статистиче­ских данных проводилось без какого-либо предварительного планирования. Способы, время и место проведения экспериментов определялись экспериментаторами интуитив­но, без научно обоснованной методики. Вместе с тем, развитие науки и совершенствова­ние техники существенно увеличило стоимость экспериментальных исследований. Это привело к необходимости создания математического аппарата, позволяющего осуществ­лять рациональный выбор условий проведения эксперимента. Таким аппаратом стала теория планирования эксперимента [1][2][3].
В работе решается задача по нахождению двух специальных типов С-оптимальных планов: экстраполяции и для оценивания производной в модели полиномиальной регрессии без свободного члена. Для обычных полиномиальных моделей планы экстра­поляции были изучены еще в 1960-ых годах [4], а планы для оценивания производной — в недавней работе научного руководителя [5].
Во многих случаях нулевой отклик, то есть начальное положение объекта экспе­риментирования, уже известен или эта информация нам не важна. Например, работа систем экстренного торможения не зависит от участка трассы, на котором она исполь­зуется, а при вычислении параметров запуска ракеты всегда известно, с какого кос­модрома она будет запущена. Поэтому интерес представляют полиномиальные модели у = в0+в1х+...+0пхп с заранее заданным 0О. При введении нового отклика ynew = У—С получаем регрессионную полиномиальную модель с нулевым свободным членом. Такие модели еще мало исследованы.
В ходе работы проведено сравнение С и D-оптимальных планов.
Работа состоит из четырех глав.
В первой главе определены следующие понятия: регрессионная модель; план экспе­римента; критерии D и С- оптимальности; сформулирована теорема Элвинга, которая применяется для исследования критерия С-оптимальности.
Во второй главе исследованы планы экстраполяции. Показано, что решение задачи существенно различается для моделей четной и нечетной степеней. Найдено в явном ви­де решение для квадратичной и модели четвертой степени. Сформулирована и доказана теорема для общего случая.
В третьей главе рассматриваются планы для оценивания производной. Получены явные решения для моделей порядка 2, 3. Для модели 4-ой степени в некоторых точках построен план аналитически, в остальных приведен алгоритм нахождения оптимально­го плана.
В четвертой главе проведено сравнение оптимальных планов экстраполяции и Р-оптимальных планов, а также сравнение планов для оценивания производных с Р-оптимальными для моделей четвертого порядка.
Купить