Тема: Алгоритмы нахождения оптимальных траекторий в целочисленной модели Неймана и их реализация на языке C++

Экономическая модель, представленная Джоном фон Нейманом в опуб­ликованной в 1937 году статье1 (перевод на английский язык вышел в 1945 году [1]), оказала значимое влияние на развитие математической экономи­ки, послужив источником большому количеству исследований и породив множество интерпретаций. Модель Неймана является обобщением извест­ной модели Леонтьева, допускающим производство каждым технологиче­ским процессом более одного вида продуктов. Значительное число учебных пособий по математической экономике [2] [3] [4], в том числе современ­ных [5], содержит выведенные в оригинальной статье фон Неймана опи­сание модели и исследования динамического равновесия как сбалансиро­ванного роста без изменения структуры, расширенные и дополненные дру­гими авторами. Обзор описанной в этой литературе классической модели Неймана, без углубления в условия существования и свойства равновесия, приведен в соответствующем разделе. Важным следствием исследований динамического равновесия являются теоремы о магистралях, которые не рассматриваются в рамках этой работы — для ознакомления можно обра­титься к [6].
Модель Неймана наглядна и широко применима для моделирования экономических систем разного масштаба, и эта работа акцентирует внима­ние на системах малого масштаба (уровень отдельных предприятий), для которых дискретность изменения интенсивности технологических процес­сов не позволяет считать погрешность от использования непрерывной мо­дели незначительной. Автору не удалось найти литературу, посвященную этому вопросу, при этом, по мнению автора, исследование оптимизацион­ной задачи для целочисленной модели может помочь понять, как быстро растет оптимальное решение для таких систем.
В работе применяются несколько различных методов решения оптимизационной задачи для целочисленной модели, представляющие различные подходы к задаче (статический и динамический, с нахождением точного и приближенного решения), выясняются их достоинства, недостатки и ограничения. Также в рамках данной работы выполнена программная реализация этих методов, позволяющая проверить эффективность и провести более детальное сравнение.
Купить

В работе знакомая экономистам модель Неймана рассмотрена в новом ключе — как объект целочисленной оптимизационной задачи. Исследованы методы нахождения оптимальной траектории, представляющие различные подходы к решению задачи оптимизации.
Метод континуализации представляет из себя сведение новой задачи к хорошо изученному классу задач линейного программирования. Построена модификация задачи, представляющая из себя задачу линейного програм­мирования, сформулированы и доказаны утверждения о том, что реше­ние этой модификации является допустимым решением исходной задачи, установлены ограничения применения, произведена оценка погрешности и временной сложности.
Динамическое программирование является одним из основных и уни­версальных подходов к динамической задаче. Второй метод, представлен­ный в работе, применяет этот подход к задаче оптимизации целочислен­ной модели Неймана. Доказаны утверждения о том, что данный метод дает точное решение оптимизационной задачи, составлен подробный алго­ритм нахождения оптимальной траектории, произведена оценка временной сложности.
Для обоих методов написана программная реализация на языке C++ и проведено тестирование на наборах сгенерированных задач с различными параметрами. Анализ результатов тестов подтвердил и уточнил теоретиче­ские выводы. Эффективность использования методов зависит от скорости роста экономической модели: при быстром экспоненциальном росте может быть предпочтительней найти приближенное решение с помощью метода континуализации, а при умеренном росте можно за приемлемое время най­ти точное решение с помощью метода динамического программирования.
Исследование методов не только показало их применимость к реше­нию задачи, но также и наглядно продемонстрировало различия подходов, определяющих эти методы. Однако подходы к динамической оптимизаци­онной задаче разнообразны, и даже в рамках подходов методы решения могут быть различны. Поэтому исследование задачи оптимизации цело­численной модели Неймана может быть продолжено — можно отметить такие возможные направления исследований, как обобщение описанного в данной работе метода динамического программирования на случай ин­тегральной полезности, реализация приближенного метода динамическо­го программирования, дающего более точную нижнюю оценку, чем метод континуализации, а также применение к задаче метода ветвей и границ.
Купить