Введение 3
Классическая модель Неймана в литературе 5
Постановка задачи 11
Глава 1. Методы решения задачи оптимизации модели 16
1.1. Метод континуализации 16
1.2. Метод динамического программирования 25
Глава 2. Реализация методов и их сравнительный анализ 32
2.1. Программная реализация 32
2.2. Сравнительный анализ 34
Заключение 44
Список литературы 46
Приложение 47
Экономическая модель, представленная Джоном фон Нейманом в опубликованной в 1937 году статье1 (перевод на английский язык вышел в 1945 году [1]), оказала значимое влияние на развитие математической экономики, послужив источником большому количеству исследований и породив множество интерпретаций. Модель Неймана является обобщением известной модели Леонтьева, допускающим производство каждым технологическим процессом более одного вида продуктов. Значительное число учебных пособий по математической экономике [2] [3] [4], в том числе современных [5], содержит выведенные в оригинальной статье фон Неймана описание модели и исследования динамического равновесия как сбалансированного роста без изменения структуры, расширенные и дополненные другими авторами. Обзор описанной в этой литературе классической модели Неймана, без углубления в условия существования и свойства равновесия, приведен в соответствующем разделе. Важным следствием исследований динамического равновесия являются теоремы о магистралях, которые не рассматриваются в рамках этой работы — для ознакомления можно обратиться к [6].
Модель Неймана наглядна и широко применима для моделирования экономических систем разного масштаба, и эта работа акцентирует внимание на системах малого масштаба (уровень отдельных предприятий), для которых дискретность изменения интенсивности технологических процессов не позволяет считать погрешность от использования непрерывной модели незначительной. Автору не удалось найти литературу, посвященную этому вопросу, при этом, по мнению автора, исследование оптимизационной задачи для целочисленной модели может помочь понять, как быстро растет оптимальное решение для таких систем.
В работе применяются несколько различных методов решения оптимизационной задачи для целочисленной модели, представляющие различные подходы к задаче (статический и динамический, с нахождением точного и приближенного решения), выясняются их достоинства, недостатки и ограничения. Также в рамках данной работы выполнена программная реализация этих методов, позволяющая проверить эффективность и провести более детальное сравнение.
В работе знакомая экономистам модель Неймана рассмотрена в новом ключе — как объект целочисленной оптимизационной задачи. Исследованы методы нахождения оптимальной траектории, представляющие различные подходы к решению задачи оптимизации.
Метод континуализации представляет из себя сведение новой задачи к хорошо изученному классу задач линейного программирования. Построена модификация задачи, представляющая из себя задачу линейного программирования, сформулированы и доказаны утверждения о том, что решение этой модификации является допустимым решением исходной задачи, установлены ограничения применения, произведена оценка погрешности и временной сложности.
Динамическое программирование является одним из основных и универсальных подходов к динамической задаче. Второй метод, представленный в работе, применяет этот подход к задаче оптимизации целочисленной модели Неймана. Доказаны утверждения о том, что данный метод дает точное решение оптимизационной задачи, составлен подробный алгоритм нахождения оптимальной траектории, произведена оценка временной сложности.
Для обоих методов написана программная реализация на языке C++ и проведено тестирование на наборах сгенерированных задач с различными параметрами. Анализ результатов тестов подтвердил и уточнил теоретические выводы. Эффективность использования методов зависит от скорости роста экономической модели: при быстром экспоненциальном росте может быть предпочтительней найти приближенное решение с помощью метода континуализации, а при умеренном росте можно за приемлемое время найти точное решение с помощью метода динамического программирования.
Исследование методов не только показало их применимость к решению задачи, но также и наглядно продемонстрировало различия подходов, определяющих эти методы. Однако подходы к динамической оптимизационной задаче разнообразны, и даже в рамках подходов методы решения могут быть различны. Поэтому исследование задачи оптимизации целочисленной модели Неймана может быть продолжено — можно отметить такие возможные направления исследований, как обобщение описанного в данной работе метода динамического программирования на случай интегральной полезности, реализация приближенного метода динамического программирования, дающего более точную нижнюю оценку, чем метод континуализации, а также применение к задаче метода ветвей и границ.
