Введение 3
1 Основные понятия и обзор литературы 4
1.1 Обычные дифференциальные уравнения 4
1.1.1 ОДУ первого порядка 4
1.1.2 ОДУ второго порядка 7
1.2 Функционально-дифференциальные уравнения запаздывающего типа 9
1.2.1 ФДУЗТ первого порядка 9
1.2.2 ФДУЗТ второго порядка 11
2 Постановка задачи 13
3 Формулировка метода 14
4 Вывод условий порядка 16
4.1 Непрерывные методы Рунге —Кутты 16
4.1.1 Метод для уравнений первого порядка 16
4.1.2 Метод для системы уравнений первого порядка 19
4.1.3 Метод для уравнений второго порядка 23
4.2 Функционально-непрерывные методы РК 25
4.2.1 Метод для уравнений первого порядка 26
4.2.2 Метод для системы из двух уравнений 29
4.2.3 Метод для уравнений второго порядка 34
5 Практическая реализация 38
5.1 Примеры построенных методов 38
5.1.1 ФНРК первого порядка 38
5.1.2 ФНРК второго порядка 39
5.1.3 ФНРК третьего порядка 39
5.1.4 ФНРК четвертого порядка 40
5.1.5 ФНРК пятого порядка 40
5.2 Проверка на тестовых задачах 42
Выводы 45
Заключение 48
Литература 49
Приложения 51
Часто поведение физической, химической, экономической или какой-либо другой сложной системы невозможно описать решением прямо зависящим от его признаков, так как поведение зависит от скорости изменения признаков, аналитическим представлением которых являются производные. Уравнения, включающие зависимость производных решения, называют дифференциальными.
Более глубокое понимание окружающего мира позволяет отметить, что реальные процессы зависят не только от настоящего момента времени, но и существенно определяются своей предысторией. В математическом смысле эти процессы доступны для анализа при помощи дифференциальных уравнений запаздывающего типа.
В свою очередь, продолжающееся динамическое развитие вычислительных машин обеспечивает ученым широкие возможности развития науки за счет перекладывания громозких выводов и поиска решений систем большой размерности на машины.
В данной работе приводится построение одношаговых методов Рунге — Кутты для прямого применения к функциональным уравнениям запаздывающего типа второго порядка специального вида.
Поставленные цели данной работы достигнуты:
1. метод Рунге —Кутты для уравнений второго порядка запаздывающего типа построен в главе 3;
2. достаточные уравнения порядка (для пятого порядка включительно) выведены и обоснованы в главе 4;
3. уравнения порядка разрешены и получены коэффициенты метода — параграф 5.1;
4. проведена проверка метода на достижение требуемого порядка — параграф 5.2;
5. сформулированы выводы и преимущества перед системой уравнений первого порядка.
