§1 Введение 2
§2 K-замкнутость при 0 < r ≤ 1 < p < ∞ 11
§3 K-замкнутость при r > 1, p = ∞ 20
Переход от двух весов к одному весу и окаймленному оператору 21
Основная теорема 22
Возвращаемся к пространствам Харди 33
§4 K-замкнутость при r = 1, p = ∞ (склейка) 34
§5 Заключение 36
Список литературы 37
Купить

В данной работе мы рассматриваем некоторые вопросы о K-замкнутости пары весовых пространств Харди на двумерном торе Hr (w1 (•, •)), Hp(w2 (•, •)) в паре соответствующих им весовых пространств Лебега Lr(w(•, •)), Lp(w2(^, •)).
Пусть (X15X2) совместимая пара банаховых или квази-банаховых про­странств (то есть они вложены в некоторое объемлющее топологическое векторное пространство), Y1 и Y2 — замкнутые подпространства соответ­ственно в X1 и X2. Введем определение.
Определение. Пара (Y1, Y2) называется K-замкнутой в паре (X1,X2), ес­ли существуют такие две абсолютные константы C1;C2, что для всех эле­ментов f 2 Y1 + Y2, g 2 X1, h 2 X2 таких, что f = g + h, найдутся такие элементы g0 2 Y1, h0 2 Y2, что f = g0 + h0 и при этом kg0||X1 — C1|g|x, НМх2 — C2|h|x2.
Теоремы о K-замкнутости интересны сами по себе, так как в таком случае пара (Y1,Y2) наследует многие интерполяционные свойства пары (X1 ,X2), в частности верна формула (Y1,Y2)e;q = (X1,X2)gq (Y1 + Y2) для интерполяции пространств вещественным методом.
Напомним, что классические пространства Харди на n-мерном торе это
Hp(Tn) = Clos Lin {zj1 1 zj2 2 . . . zjn n ∣ (j1, j2, . . . , jn) ∈ N ∪ {0} },
где 0 < p — 1, при p < 1 замыкание берется в ^(Тп)-норме, а при p = 1 в *-слабой топологии.
Вопрос K-замкнутости пары (Hr(Tn), Hp(Tn)) в паре (Lr(Tn),Lp(Tn)) для n = 1 решен давно и может уже считаться классическим, причем ис­торически интерполяционные свойства шкалы Hp(T) изучались еще до по­явления понятия K-замкнутости (по поводу истории вопроса см. [6]). Рас­смотрение безвесового случая при n = 2 было завершено несколько позже, статьей [11]. В ней был решен самый сложный случай p = 1. В случае n > 3 “мягкими” методами решен вопрос K-замкнутости для r,p < 1 (см. [2]), а вот при p = 1 ничего не понятно уже даже для n = 3.
Перед тем как начать говорить о проблемах K-замкнутости весовых пространств Харди, напомним еще одно определение. Мы говорим, что вес w : T ! (0, +1) удовлетворяет условию Макенхаупта Ар, 1 < p < ∞, тогда и только тогда, когда
( 1/|B| ∫B w(t)dt) ( 1/|B| ∫B w(t) 1/(1−p) dt)p−1 ≤ C < ∞
для любой дуги B. Вес w удовлетворяет условию Ai тогда и только тогда, когда
1/|B| ∫B w(t)dt ≤ Cw(x),
для любой дуги B и для любого x 2 B. Вес w удовлетворяет А1 тогда и только тогда, когда w удовлетворяет какому-нибудь Ap для 1 < p < 1. При этом наилучшие константы C, фигурирующие в правых частях нера­венств, принято называть Ар-константами, а вместо “w удовлетворяет усло­вию Ар” иногда пишут w 2 Ар. Когда мы говорим о весах двух переменных w : T2 ! (0,1), условия Ар определяются так же, только вместо дуг сим­вол B будет обозначать множества вида B1 х B2, где B1, В2 — дуги.
Некоторые весовые результаты о K-замкнутости пространств Харди в пространствах Лебега могут быть легко получены из соответствующих без- весовых результатов, наложением на вес соответствующих ситуации усло­вий Макенхаупта Ap, но такие условия часто являются слишком ограничи­тельными.
Толчком к изучению интерполяции (в основном в форме K-замкнутости) весовых пространств Харди при минимальных ограничениях на веса в слу­чае одной переменной стало возникновение этого вопроса в контексте дока­зательства теоремы Гротендика для пространства, сопряженного к диск- алгебре (диск-алгебра — это замыкание аналитических полиномов в норме пространства непрерывных функций на окружности), см. подробнее в об­зоре [10]. В результате такие условия были найдены. Верна следующая теорема.
Теорема 1. Пусть wi,w2 : T ! (0, +1) — веса, для которых выполнено logw1(•) 2 L1(T), logw2(-) 2 L1(T). Пусть 0 < r < p < 1. Тогда пара про­странств (Hr(w1(;)), Hp(w2(;))) K-замкнута в паре (Lr(w1(;)), Lp(w2(•))) w^/r( ) тогда и только тогда, когда log ДО• 2 BMO(T) (при p = 1 условие на w2 (•) веса logwi/r(•№(•) 2 BMO(T)).
Отметим, что условия logw1(^) 2 L1 (T), logw2(^) 2 L1(T) являются скорее не ограничением применимости теоремы, а очерчивают обстоятель­ства, при которых не происходит вырождения в определении весовых про­странств Харди. Кроме того, в случае r = p теорема остается справедливой.
Остановимся ненадолго на этом вопросе. До настоящего момента мы так и не ввели определение весовых пространств Харди. Вообще говоря, это довольно сложный и тонкий вопрос: например для того, чтобы дать опреде­ление, аналогичное данному выше для безвесовых пространств Харди, нам нужно было бы, чтобы аналитические полиномы, чье замыкание мы берем, лежали в Hp(w), для чего нужно было бы требовать w 2 L1(Tn), а это мо­жет быть слишком ограничительным условием. Но в случае одной переменной этот вопрос решается довольно простым и естественным образом. Для веса w : T ! (0,1) с суммируемым логарифмом (а мы, как уже говорилось выше, рассматриваем только такие веса), находим внешнюю функцию и такую, что |u| = w; тогда можем определить Hp(w) = {f /u1/p∣∫ ∈ Hp(T)} с нормой ||g|| Hp(w) = ||gu1/p||Hp(T). В случае n = 2, который будет рассматриваться в дальнейшем, при 0 < p < ∞ мы будем использовать следующее определение: будем рассматривать веса w : T2 ! (0,1) следующего вида w(z1 ,z2) = a(z1)u(z1, z2)b(z2), где и 2 L1(T2), а у функций а и b суммируемые логарифмы (пусть а, b внешние функции, построенные по а и b), тогда определяем Hp(w) = |f/(ab) p f 2 Hp(u(-, -))| с нормой, задаваемой соотношением ||g||Hp(w) z-ni g(ab) p, где Hp(u(-, •)) определяется как замыкание аналитических полиномов в Lp(u(·, ·))-норме, взятое с этой же нормой. Для произвольного веса (с суммируемым логарифмом) w : T2 ! (0,1), пространство L1 (w(-, •)) мы понимаем как L1(w(^, •)) := {f : T2 ! C | ess sup{f (zi, z2)/w(zi, z2) | (zi,z2) 2 T2} < 1, взятое с естественной нормой. Пространство H1(w(;, •)) для веса w вида w(zi , z2) = a(zi)u(zi , z2)b(z2), где u 2 Li (T2), а у функций a и b суммируе­мые логарифмы, определяем как аннулятор пространства Lp(w), которое, в свою очередь, определяется аналогично H1(w), только с заменой аналити­ческих многочленов на многочлены со спектром во множестве N х Z U Z х N, (множество функций со спектром в N х Z U Z х N мы будем обозначать сим­волом ч). Отметим, что трюк с внешними функциями в данной ситуации также применим, так как принадлежность функции ч инвариантна относи­тельно домножения на аналитические функции. Двойственность, которую мы только что использовали и будем продолжать использовать всегда в дальнейшем, это J fg. При таком определении двойственности и простран­ства L1(w(^, •)) верно L1(w(^, •))* = L1(w(^, •)).
Для интерполяции пространств Харди двух переменных к настоящему времени была установлена следующая теорема (она доказана в [5]).
Теорема 2. Пусть 1 < r < 1; веса имеют вид w1(z1,z2) = щДДЬДгД, W2(zi;Z2) = a2(zi)b2(z2), где функции di, bi такие, что выполнено условие logai(-), logbi(-) 2 BMO(T). Тогда пара (Hr(w1(-, •)), H1 (w2(, •))) будет K-замкнута в паре (Lr(w1(;, •)), L1 (w2(, •))).
Отметим, что, на самом деле, в оригинальной теореме вместо условия на принадлежность самих логарифмов весов к BMO(T), фигурируют усло­вия с логарифмами отношений весов, аналогичные условиям из теоремы 1. Таким образом аналог одномерного условия оказывается достаточным, ко­гда вес w(;, •) разделяется в произведение двух весов от одной переменной.
В данной работе мы, во-первых, хотели показать, что при некоторых условиях на функцию u(^, •), аналог теоремы 2 будет верен для весов вида w(z1, z2) = a(z1)u(z1, z2)b(z1). Наш основной результат на эту тему изложен в следующей теореме.
Теорема 3. K-замкнутость пары
(Hp(d1(z1)U1 (z1,z2)b1(z2)), Hi(d2(z1)U2(z1, z^^b^^z^)}}
в паре
(Lp(d1(z1)U1 (z1,z2)b1(z2)), Li(d2(z1)U2(z1, z2)b2(z2)))
имеет место при следующих условиях:
1) u1 удовлетворяет двумерному Ap,
2) u2 удовлетворяет двумерному A1,
3) log(di),log(bi) 2 BMO,
4) Up,ui удовлетворяет A1 по второй переменной равномерно (в смысле равномерной константы в обратном неравенстве Гельдера),
Заметим, что вышеописанная теорема несколько отличается от пред­ставленной в соответствующем разделе. Мы специально разместили здесь версию с более простыми условиями, хотя и не в максимальной доказан­ной нами общности. Вывести теорему 3 из теоремы 8 читатель сможет без труда.
Во-вторых, соединив идеи из [2] и [3], мы доказали следующее весовое утверждение для случая п = 2 и 0 < r < 1 < p < 1.
Теорема 4. Если веса wi(-, •), ш2ф •) удовлетворяют условиям
wi('; •) 2 А1; w2('; •) 2 Ap;
то пара (Hr(wi (•, •)), Hp(w2(•; •))) K-замкнута в (Lr(w1 (•; •)), Lp(w2(^, •))).
Заметим опять, что в соответствующем разделе доказана несколько более сильная теорема, а вышеприведенный результат выбран как основ­ной, поскольку его легче использовать. Кроме того, похожую теорему, по- видимому, можно сформулировать и для любой размерности п, но в данной работе мы ограничились случаем n = 2.
Наконец, используя вместе предыдущие два результата, мы получили методом “склейки трех шкал” следующую теорему, аналогичную общему одномерному результату о K-замкнутости подпространств, порожденных сингулярными интегральными проекторами, сформулированному в [1].
Теорема 5. Если wi;w2 2 A1 и wiw2 2 Аж, то пара
(Hi(wi(zi; Z2));Hi (w2(zi, Z2)))
K-замкнута в паре
(L1(W1(Z1; Z2)), L1(W2(Z1; Z2))) :
В работе, помимо введения и заключения, три параграфа. §2 содер­жит результаты о K-замкнутости в окрестности единицы: то есть при 0 < r < 1 < p < 1. В нем будет доказана теорема 4. В §3 рассматри­вается случай 1 < r < p = 1, доказывается теорема 3. В §4 из результатов §2 и §3 выводится теорема 5, про случай r = 1,p = 1.
Добавим еще пару слов об обозначениях, которые проходят сквозь всю работу.
В дальнейшем нам несколько раз нужно будет говорить о классах функ­ций со спектром в определенном координатном угле, поэтому мы вводим для них специальные символы, а именно:
+Л; Л "Ч Т "■ЛЧТЧЧГ
которые читаются так: функции, спектр которых лежит в закрашенной черным области (черные линии, где видны, символизируют собой коорди­натные оси, они добавлены для удобства). Ось абсцисс будет всегда отве­чать первой переменной, ось ординат — второй. Включать или не включать функции со спектром на границе будет ясно из контекста, в котором сим­вол используется.
Для того, чтобы несколько уменьшить громоздкость выкладок, мы вво­дим символы < и &, которые будут обозначать оценки с константами, зна­чение которых нас не интересует. То есть обозначение A < B значит, что выполнено A < CB для некоторой положительной константы С.
Символом [i будем обозначать нормированную меру Лебега на одномер­ном торе (то есть такую, что ц(Т) = 1). Для X С T запись (wg,)(X) будет обозначать fx w, то есть весовую меру множества X.
Кроме этого, нам будут встречаться (на самом деле однажды уже встре­чались) обозначения вида XQ, где X — какая-то квази-банахова решет­ка измеримых функций, а Q некоторый проектор. При этом Q не обя­зан действовать в пространстве X: если он все же действует в X, то, стандартным образом, XQ = {f 2 X | Qf = f g, если же нет, то мы бу­дем фиксировать за проектором Q некоторое линейное подпространство D С X (в реальных случаях оно, чаще всего, будет плотным), на котором Q определен и принимает значения в X, а пространство XQ определять как Clos{f 2 D | Qf = fg (то, что Q проектор, в последнем случае пони­мается как Q2 = Q на множестве D). Введем сразу важнейший для §3 оператор P. Это проектор на Ч; более точно, он действует на тригономет­рические многочлены двух переменных, зануляя коэффициенты при сте­пенях в множестве (Z N) х (Z N). Теперь, следуя приведенной общей конструкции, можем определить решетку LP(u(-, •)), где и 2 L1 (T2), s < 1 (в роли множества D, как и всегда для проектора P, будет выступать мно­жество тригонометрических многочленов). Но все же таким образом мы не можем определить Lp(w(-, •)), где w вида w(z1,z2) = a(z1)u(z1, z2)b(z2), s < 1, функция и 2 L1 (T2), а у функций а и b суммируемые логарифмы. Случай s = 1, исключенный здесь нами, получается из соображений двой­ственности, как это уже было сделано на несколько абзацев выше, в этом абзаце мы более не будем его обсуждать. Чтобы справиться с весами вида w(z1 ,z2) = a(zi)u(zi, z2)b(z2), мы определяем пространство Lp(w(-, •)) как [a~1/sb~1/sf f 2 Lp(u(^ ♦))| с нормой gLp(№) = ||ga1/sb1/s||LP(^ где, как и раньше, a,b — внешние функции с |a| = a, b = b. В чисто-решеточных терминах это выглядит так: мы взяли решетку X = Ls, затем добавили к ней вес u-1/s, получив X(u-1=s), после этого взяли подпространство, “выре­занное” проектором P, заданным на многочленах, получили (X(u-1=s))P, после чего добавили к получившейся решетке дополнительный вес (ab)~x=s, получив решетку (X(u-1=s))P((aa)-1=s).
Заметим также, что обозначения весов в дальнейшем могут отличаться от использованных в формулировках теорем выше. В основном, это сделано для того, чтобы читателю было легче сравнивать доказательства некото­рых теорем-обобщений с их прообразами, выделять новые идеи.
Наконец, хочется отметить, что тонкий вопрос определения пространств Харди здесь можно было бы вовсе обойти, потребовав, чтобы все веса были ограничены и отделены от нуля. В таком случае, они (пространства) опре­деляются естественно и недвусмысленно, а результаты теорем имеют цен­ность, состоящую в том, что все полученные оценки будут зависеть только от Ар-констант и BMO-норм логарифмов весов, а не их (весов) существен­ных супремумов и инфимумов.
Купить