БЛИЗКИЕ К ПЕРИОДИЧЕСКИМ ОРБИТЫ В РАВНОБЕДРЕННОЙ ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ

Введение
Глава 1. Постановка задачи.
1.1 Общие сведения о задаче
1.2 Основные формулы и обозначения
1.3 Работы, посвященные данной задаче . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Поиск орбит, близких к периодическим. . . . . . . . . . . . . 15
Глава 2. Методы решения задачи и детали их реализации . 16
2.1 Борьба с сингулярностью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.1 Приближение задачей двух тел . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.2 Приближение упругим отскоком . . . . . . . . . . . . 18
2.1.3 Регуляризация
2.2 Программные средства и детали реализации. . . . . . . . . . 20
2.2.1 Пакет MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.2 Программа TRIPLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.3 Дополнительные программные средства . . . . . . . . 24
Глава 3. Результаты
3.1 Приближение задачей двух тел . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Приближение упругим отскоком . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.3 Регуляризация.
Заключение
Список литературы
Купить

Задача трех тел — одна из классических проблем небесной механики.
Впервые поставлена она была Ньютоном, впоследствии ею занимались такие великие ученые, как Эйлер, Лагранж и Пуанкаре. Различным ее приложениям (например, поиску периодических орбит, хореографий, изучению хаотизации движений и т.п.) посвящено множество статей. Помимо прочих причин, это связано с тем, что именно подсистемы из трех тел встречаются чаще всего в звездных системах, количество тел в которых больше двух.
Таким образом, данная задача крайне важна для исследования эволюции звездных скоплений, галактик, групп и скоплений галактик.
Эйлер, в частности, нашел класс точных периодических решений задачи трех тел — когда в течение всей эволюции системы тела находятся на одной прямой (сигизии), вращающейся вокруг общего центра масс. Эти решения называют коллинеарными или эйлеровыми. Также именно Эйлер первым ввел вращающуюся систему координат, а еще предложил идею регуляризации движений при двойном соударении в задаче двух тел [1].
Лагранж нашел еще один класс точных решений — когда три тела постоянно находятся в вершинах равностороннего треугольника, обращающегося вокруг центра масс системы. Такие решения называют треугольными или лагранжевыми.
Одним из первых исследователей, достигших значительных результатов в исследовании задачи трех тел был А. Пуанкаре. В своей работе он искал минимумы функционала действия для плоской задачи трех тел произвольных масс при некоторых наложенных на орбиты ограничениях. При этом он, помимо прочих результатов, задал направление исследований, которое используется и в некоторых современных работах — рассмотрение вместо движений тел деформаций треугольников, ими образованных. В процессе работы им была обнаружена одна из ключевых проблем задачи трех тел — то, что функционал действия сходится в окрестности столкновений для ньютонова потенциала, пропорционального 1/Будучи не в силах решить задачу для этого случая, Пуанкаре рассмотрел так называемое ”сильное взаимодействие“, пропорциональное 1/2.
Несмотря на то, что задача трех тел является всего лишь частным случаем более общей задачи тел, богатство возможных решений и вариантов подзадач поражает воображение. Одной из этих подзадач является так называемая обобщенная задача Ситникова. В своей работе Ситников рассматривал пространственную ограниченную равнобедренную задачу трех тел, когда тело нулевой массы движется вдоль прямой, проходящей через центр масс двух других тел равных масс перпендикулярно их орбитальной плоскости. Ситников показал, что при подобной постановке задачи
существует несколько вариантов решения:
1. тело нулевой массы покоится в барицентре системы (частный случай решения Эйлера);
2. тело нулевой массы cовершает затухающие колебания около барицентра системы;
3. периодическое решение;
4. тело нулевой массы cовершает колебания с нарастающей амплитудой, завершающиеся его уходом;
5. тело нулевой массы совершает осциллирующие колебания — с нарастающей амплитудой, но без ухода на бесконечность.
Также Ситников установил, что если масса тела, движущегося по прямой, не равна нулю, но мала по сравнению с массами крайних тел, то осциллирующие движения тоже возможны.
Важный вклад в изучение обобщенной задачи Ситникова внес Алексеев. Применив методы символической динамики, он показал, что в зависимости от выбора начальных условий в этой задаче реализуются все
возможные типы финальных движений по классификации Шази.
В конце XIX в. Пуанкаре, обобщив теорему Брунса, показал, что общее решение задачи трех тел невозможно выразить через алгебраические или трансцендентные функции координат и скоростей тел. В 1912 г. Сундман представил общее решение в виде рядов по вспомогательной переменной, однако оказалось, что для практического применения эти ряды непригодны, так как сходятся чрезвычайно медленно. Таким образом, так как приемлемое аналитическое решение задачи трех тел невозможно, важную
роль в ее исследовании играют вычислительные методы с использованием
ЭВМ. К сожалению, эти методы сами содержат некоторую погрешность,
а конечная машинная точность добавляет к ней еще и ошибки округления, поэтому следует помнить, что все результаты, полученные с помощью вычислений на ЭВМ, являются приближенными.
В данной работе будут рассмотрены различные вычислительные методы решения плоской равнобедренной задачи трех тел, проведено их сравнение и представлены результаты поиска периодических орбит в этой задаче.
Купить