U-max статистики и их предельное поведение

1 Введение 4
1.1 U-статистики 4
1.2 U-max статистики, определения и история изучения . . 5
2 Обобщенная теорема для изучения предельного поведения 8
3 Применение обобщенной теоремы в частных случаях 26
3.1 Степенные функции от сторон 26
3.2 Сумма попарных расстояний между точками 35
3.3 Сумма расстояний от центра окружности до вершин
описанного m-угольника 41
4 Заключение 46

Купить

принимающих значения в измеримом пространстве (X, A) и имеющих там одинаковое распределение P. Пусть P = {Pg — некоторый класс вероятностных распределений на пространстве (X,A).
Рассмотрим 0(P) — некоторый функционал на P. Функционал 0(P) называется регулярным, если он может быть записан в виде
0(P) У ... У h(xi, . . . , XTO)P(dXi)...P(dxm), X X
где h(x1,..., xm) — некоторая вещественнозначная симметричная бо- релевская функция. Эту функцию называют ядром, а целое число m > 1 называют степенью ядра или (реже) функционала 0(P).
Халмош и Хёфдинг в работах [2] и [3] были первыми, кто стал расматривать класс несмещенных оценок функционалов 0(P), получивших название U-статистик. Они определяются следующим образом. Пусть h(x1,...,xm) — ядро функционала 0(P). Тогда U- статистика степени m определяется как
7 X -1
Un = m X h(«S1 ,...,е.»);
' ' J
где n > m, а множество J = {(i1,..., im) : 1 < i1 < ... < im < ng — это множество упорядоченных m - элементных перестановок с множеством индексов из набора {1,...,ng. Впервые такая статистика была рассмотрена Халмошем в 1946 году. В дальнейшем оказалось, что большое количество статистических оценок и тестовых статистик относятся к классу U-статистик. Этот факт сильно повлиял на развитие дальнейшей теории.
1.2 U-max статистики, определения и история изучения
U-max статистики можно рассматривать как предельный случай U- статистик. Определяются они следующим образом:
Нп = max Д«и,••. ,<гт).
В данном определении функция h и множество J определяются так же, как и для U-статистик. U-min статистики Hn определяются аналогично. Заметим, что при замене знака ядра U-min статистика превращается в U-max статистику, поэтому эти понятия равнозначны. Приведем некоторые примеры U-max и U-min статистик.
1. Максимальное расстояние max ||ф — tj||, где £1,£2,---,£n —
1 это независимо и равномерно распределенные точки на d-мерной единичной сфере Bd,d > 2.
2. Максимальное скалярное произведение max (ф,ф}, где
1 £1,^2, • • • , £n независимо и равномерно распределенные точки на d- мерной единичной сфере Bd,d > 2.
3. Максимальные периметр и площадь:
max peri(Ui,Uj ,Ul) и max area(Ui,Uj ,Ul) 1 среди всех вписанных треугольников, чьи вершины лежат на единичной окружности и берутся из множества U1, • • •, Un: Точки U1, • • • , Un независимо и равномерно распределены на единичной окружности S.
Лао и Майер первыми начали изучать U-max статистики, посвятив им несколько своих работ [4], [5], [6]. Они доказали основную предельную теорему для U-max статистик. Для этого Лао и Майер использовали некоторую модификацию утверждения о сходимости Пуассона из монографии Барбура, Холста и Янсона [1]. Основная их предельная теорема выглядит следующим образом.
Теорема. (Лао-Майер) Пусть £1, • • • ,£n — случайные величины со значением в некотором измеримом пространстве (S, A) , и пустьдана симмметричная борелевская функция h : Hm ! R. Обозначим
Нп = max h«iX ,...,Ciro)
и определим для каждого z 2 R следующие функции:
Pz = Pfh«i, ...,<«) > zg;

P{h(<1; ...,<«) > z,h(<1+m-r,
Pz
Тогда для всех n > m и для всех z 2 R верно неравенство



При этом, при замене h на —h получается соответствующее неравенство для минимума.
Сильверман и Браун в своей работе [7] предложили условия, при которых общая теорема, использованная в [4], приводит в пределе к нетривиальному закону Вейбулла.
Теорема. (Сильверман-Браун) В условияx теоремы Лао-Майера, если для некоторой последовательности преобразований zn : T ! R, T С R для каждого t 2 T выполнены условия:
lim Anz (t) = At > 0, n,Zn b / !
n^^ v '
lim n2m 1Pz„(t)Tz„(t)(m - 1) = 0; (2)
то тогда
lim P (Hn < zn(t)) = e Xt
для любого t T.
Лао и Майер разработали метод, использующий эту теорему, с помощью которого может быть исследовано предельное поведение некоторых U-max статистик. Они использовали его для изучения предельного поведения конкретных U-max статистик и изучили предельное поведение всех статистик, упомянутых в примерах. В частности, они доказали такую предельную теорему.
Теорема (Периметр вписанного треугольника). Пусть U1;U2,... ,Un — независимо и равномерно распределенные точки на единичной окружности S. Обозначим через peri(Ui, Uj. Ui) периметр треугольника с вершинами в точках U^Uj .Ul. Обозначим
Hn = max peri(Ui;Uj .Ui).
1 Тогда для любого t > 0 верно, что
lim P{n3(3p3 — Hn) < tg = 1 — exp{^ }.n!1 9”
Но Лао и Майер рассматривали функции h только с небольшим числом переменных, в основном они изучали треугольники. В 2014 году Королева и Никитин опубликовали статью [8], в которой были рассмотрены несколько U -max статистик с произвольной конечной степенью ядра и их предельное поведение. В частности, задача о предельном поведении периметра вписанного треугольника была обобщена до задачи о предельном поведении вписанного выпуклого m - угольника, где m > 3.
Теорема (Периметр вписанного m-угольника). Пусть точки U1; U2;... ,Un независимо и равномерно распределены на окружности S . Обозначим через
Pmn = max peri(Ui, .....Ui )
i'On -i . Jr (1j 1 3. Тогда для каждого t > 0 верно, что
2m ^ t m2~~
lim P{n■- 1 (2m sin Pm,n) < tg = 1 — exp{———}, где KVm = m2(кsin )r().
im m' v 2 /
В этой работе мы обобщили теорему о предельном распределении U — max статистик на широкий класс ядер.

Купить