Тема: Экстремальные задачи для весов Макенхаупта из класса A1

1.1. История вопроса. Относительно недавно возник метод функции Велл­мана для решения экстремальных задач в анализе. Действенность этого метода в приложении к некоторым задачам гармонического анализа продемонстриро­вали Назаров и Трейль в работе [3], а в работе [4] был описан метод функции Веллмана в контексте стохастического процесса и его применение в диадиче­ских задачах гармонического анализа. Позже с помощью функции Веллмана были найдены точные константы в неравенстве Джона-Ниренберга для функ­ций из класса BMO (см., например, [5]) ив обратном неравенстве Гельдера для весов Макенхаупта (в статье [2]).
В частности, для функций из класса BMO, существует подробно описан­ная теория построения соответствующей функции Веллмана и выведен ряд условий, позволяющих определить конструкцию экстремалей для конкретных случаев, что в свою очередь позволяет решить экстремальные задачи на дан­ных функциях. Возникает желание создать подобную теорию для функций из других классов. Например, для весов Макенхаупта из класса Ap на отрезке. Для весов класса Ap при 1 < p < 1 основная теория на данный момент прак­тически полностью разработана, в то время как предельный случай p =1 пока остается без должного внимания.
В данной работе будет представлен элемент общей теории для предельного случая весов Макенхаупта класса A1.
1.2. Обозначения и постановка задачи. В данной работе экстремальные задачи будут рассмотрены на весах Макенхаупта класса A1.
Далее будем обозначать через I и J отрезки вещественной прямой, а симво­лом (w)I будем обозначать среднее функции w по отрезку I:
Mi = у1, / w:
I
Так же будем считать, что все рассматриваемые веса вещественны.
В общем случае весом Макенхаупта класса Ap называется любая неотрица­тельная вещественная функция w, которая удовлетворяет условию Ap:
sup{(w)I(w 1 p)P 1 } < I, где 1

В данной работе будет изучаться экстремальная задача для произвольного интегрального функционала в предельном случае p = 1. Класс Макенхаупта A1 задается следующим условием:
jcp {Mj injh)1 <1:
Обозначим множество весов, заданных на интервале I и таких, что указан­ный выше супремум не превосходит S>1, символом A1(I), то есть
Af(I) ==f {w 2 L1(I) | inf w(t) > 0, sup{(w)j inf !(t) } < S < 1}.
В общем случае при 1 < p < 1
Ap(I) =f {w 2 L1(I) 1 w > 0, sup{(w)j(w 1 p)p 1 } < S < 1}.
1 J CI -1
В данной работе будет рассматриваться следующая функция, называемая функцией Беллмана:
®й(ж1,Ж2; f) =! sup |{f О !>I | I = X1; inf! = x2. (1.1)
!EA{ (I)l t21 J
В дальнейшем обозначение рассматриваемой нами функции Беллмана будет часто сокращаться до B^(xi,X2) или B(x), где x = (xi,X2).
Наша цель заключается в нахождении формулы для вычисления функции Беллмана в зависимости от некоторых свойств функции f. Для простоты из­ложения функцию f будем считать достаточно гладкой. Например, условие f 2 C2 гарантирует возможность всех нижеследующих вычислений.
1.3. Описание полученных результатов. В дальнейшем придется не раз столкнуться с интегралом от выражения вида
f "(t^t-4;
где q — некоторое положительное число. В связи с этим будем рассматривать лишь те дважды непрерывно дифференцируемые функции f , которые вместе с первыми двумя производными суммируемы с весом / q, q > 0, на соответ­ствующем интервале.
Далее окажется, что поведение функции Беллмана зависит от знака функ­ции f". Исходя из этого функция Беллмана будет иметь тот или иной вид, который представляет собой некоторое выражение, зависящее от функции f и ее производных. Будет показано, что при изучении функция Беллмана в обла­сти, в которой супремум в определении 1.1 берется по непустому множеству, имеются следующие решения поставленной задачи.
• При условии f" < 0 функция Беллмана тождественно равна f (xi), а ее область определения покрывается экстремалями, которые имеют вид вертикальных прямых (см. раздел 3).
• При f" > 0 соответствующие экстремали имеют вид горизонтальных прямых, а функция Беллмана представляет собой функцию линейную по xi и убывающую по x2 (см. раздел 3).
• Если имеется точка перегиба функции f, в которой f" меняет знак с плюса на минус, то в некоторой окрестности этой точки возникает кон­струкция из переходящих друг в друга горизонтальных и вертикальных экстремалей, называемая лункой. Здесь функция Беллмана представ­ляет собой склейку функций, определенных на горизонтальной и верти­кальной частях экстремалей (см. раздел 4). Если такая точка перегиба одна, то есть f"(t) > 0 при t < c и f"(t) < 0 при t > c, то фолиа­ция области определения функции Беллмана следующая: около точки с строится лунка, подобласть ниже лунки заметается горизонтальными экстремалями, а подобласть правее ее — вертикальными.
Купить

В теоремах 3.1 и 3.2 описан вид функции Беллмана при постоянном знаке функции f", а в теореме 4.1 выведена формула для вида функции Беллмана в случае, когда у f всего одна точка перегиба, в которой вторая производная f меняет знак с плюса на минус. Возникает вопрос, как будет выглядеть функ­ция Беллмана, когда в некоторой точке функция f" меняет знак с минуса на плюс, или когда точек перегиба несколько. Ответы на аналогичные вопросы для весов из класс BMO имеются в работе [1], где описаны такие конструк­ции экстремалей, как уголок и троллейбус. Для весов Макенхаупта класса A1 данную часть теории еще предстоит исследовать.
Купить