Введение 2
Постановка задачи 4
Обзор литературы 6
Глава 1. Введение в предметную область 8
1.1 Динамические системы 8
1.2 Классификация динамических систем 9
1.3 Нелинейные системы и детерминированный хаос 10
1.4 Гамильтонов формализм 17
1.5 Матричный формализм 18
1.6 Симплектичность 21
Глава 2. Исследование динамической системы для негармонического осциллятора 24
2.1 Негармонический осциллятор 24
2.2 Исследование решения уравнения негармоничсекого осцилятора 24
2.3 Решение уравнения негармоничсекого осциллятора в иделогии матричного формализма 27
2.4 Получение симплектических поправок 32
2.5 Исследование матричного решения уравнения негармоничсекого осцилятора 33
Выводы 37
Заключение 38
Список литературы 39
Приложение к главе 2 41
Купить

Большое число объектов и процессов природы можно представить с помощью такой математической модели, как нелинейная динамическая система. Ученые активно занимаются нелинейными системами лишь последние 50 - 60 лет в связи с открытиями в них детерминированного хаоса. Детерминированный хаос возникает в диссипативных и консервативных системах. К последним относят гамильтоновы системы, активно изучаемые в классической механике. В таких системах хаос можно наблюдать с помощью построения фазового портрета или сечения поверхности Пуанкаре.
Для класса нелинейных дифференциальных уравнений, с помощью которых часто описывается эволюция динамической системы, не существует универсального способа решения. Это сильно затрудняет изучение нелинейных систем и вынуждает применять для получения решения численные методы. Известно, что численное решение всегда обладает методической погрешностью. Также численные методы не учитывают свойства определенного класса систем. Для гамильтоновых систем характерно свойство симплектичности, которое нарушается при решении системы дифференциальных уравнений распространёнными численными методами. Получаемые численные решения демонстрируют поведение, похожее на хаотическое. Существуют способы учитывать свойство симплектичности в численном решении и, таким образом, отличать динамический хаос от неточности решения системы.
В данной работе будет рассматриваться метод последовательных приближений решения системы дифференциальных уравнений в идеологии матричного формализма на примере негармонического осциллятора. Также для решения данной системы будут вычислены симплектические коэффициенты. На примеры негармонического осциллятора будет продемонстрирована разница в решении системы уравнений с учётом симплектичности и без неё.
Купить