Тема: Исследование проявления динамического хаоса в нелинейных системах

Большое число объектов и процессов природы можно представить с помощью такой математической модели, как нелинейная динамическая система. Ученые активно занимаются нелинейными системами лишь последние 50 - 60 лет в связи с открытиями в них детерминированного хаоса. Детерминированный хаос возникает в диссипативных и консервативных системах. К последним относят гамильтоновы системы, активно изучаемые в классической механике. В таких системах хаос можно наблюдать с помощью построения фазового портрета или сечения поверхности Пуанкаре.
Для класса нелинейных дифференциальных уравнений, с помощью которых часто описывается эволюция динамической системы, не существует универсального способа решения. Это сильно затрудняет изучение нелинейных систем и вынуждает применять для получения решения численные методы. Известно, что численное решение всегда обладает методической погрешностью. Также численные методы не учитывают свойства определенного класса систем. Для гамильтоновых систем характерно свойство симплектичности, которое нарушается при решении системы дифференциальных уравнений распространёнными численными методами. Получаемые численные решения демонстрируют поведение, похожее на хаотическое. Существуют способы учитывать свойство симплектичности в численном решении и, таким образом, отличать динамический хаос от неточности решения системы.
В данной работе будет рассматриваться метод последовательных приближений решения системы дифференциальных уравнений в идеологии матричного формализма на примере негармонического осциллятора. Также для решения данной системы будут вычислены симплектические коэффициенты. На примеры негармонического осциллятора будет продемонстрирована разница в решении системы уравнений с учётом симплектичности и без неё.
Купить

Гамильтоновы системы классической механики используются для описания движения планет и астероидов в космосе, для движения частиц в ускорителях. Эти направления науки бурно развиваются и поэтому важно помогать решать задачи в этих областях. Нарушение свойства симплектичности при решении гамильтоновых дифференциальных систем может дать неверное представление о поведение реального объекта, который описывает гамильтонова система.
В данной выпускной квалификационной работе были изучены понятия и определения динамической системы, детерминированного хаоса, гамильтонов и матричный формализм. Также подробно разобран метод последовательных приближений решения систем дифференциальных уравнений в идеологии матричного формализма и метод поиска симплектических коэффициентов. Эти методы были применены для изучения системы негармонического осциллятора. Были получены результаты, согласно которым учёт симплектичности гамильтоновых систем имеет значительное влияние на вид решения системы.
Купить