Тема: Применение вариационного принципа конформных отображений в задачах потенциального обтекания

Вопрос обтекания твёрдых тел изучается долгое время. Интерес к этим исследованиям вызван необходимостью анализировать характеристики потока возле частей корабля и цилиндрических частей корабельных доков, шлюзов и платформ, а также выяснить влияние формы обтекаемых тел на параметры потока.
Большой вклад в этой области внесли такие ученые, как Исаак Ньютон с его
работами о сопротивлении среды [1], Даниил Бернулли с фундаментальной работой
по гидродинамике [2], а также Д’Аламбер, Стокс, Навье, Рейнольдс [1].
Применение метода конформных отображений изучали Седов, Жуковский, Лойцянский. Существенный вклад в разработку математического аппарата внёс М. А. Лаврентьев.
Вариационный принцип конформных отображений обсуждается в различной литературе, включая современную ([3],[4],[5]).
Обтекание тел плоским течением хорошо изучено для некоторых канонических
тел, например, для кругового и эллиптического цилиндра. Используя метод конформных отображений и вариационный принцип, сформулированный Линделёфом
([6], стр. 582), можно перенести эти результаты на деформированные тела, близкие
к каноническим. Это даёт также возможность рассмотреть вопрос потенциального
обтекания деформируемой оболочки.
В работе изучается обтекание твердого тела, по форме близкого к круговому цилиндру радиуса R = 1, потоком идеальной несжимаемой жидкости с заданными давлением и скоростью на бесконечности (p1 и V1 соответственно) и плотностью ρ.
При помощи вариационного принципа конформных отображений в общем случае
получен комплексный потенциал обтекания контуров, близких к круговым. Построены линии тока при различных параметрах системы. С помощью интеграла Бернулли
выражена зависимость давления на контуре от угла в полярной системе координат.
Проведено сравнение результатов с решением задачи обтекания кругового цилиндра,
приведенным в классических учебниках ([7],[8],[9]). Проведено сравнение результатов с частным случаем поставленной задачи ([10]), где найдено решение уравнения Лапласа для потенциала скоростей методом малого параметра. Вычислен главный вектор сил, действующий на тело, и главный момент в случае, когда главный вектор сил равен нулю.
Купить

C помощью вариационного принципа конформных отображений (метода М.А. Лаврентьева) найдены приближенные аналитические выражения комплексного потенциала скоростей при потенциальном поперечном обтекании бесконечных цилиндров произвольного поперечного сечения, мало отличающихся от кругового. Описано как на основе комплексного потенциала строится потенциал скоростей и функция тока, линии тока, давление в потоке и на контуре (на основе интеграла Бернулли).
Для нескольких конкретных сечений (например, вида r = 1 + "a2 cos 2θ; r = 1 +
"a1 cos θ; r = 1 + "(a2 cos 2θ + a4 cos 4θ); здесь ai  постоянные, "  малый параметр)
проведены вычисления, построены графики давления на контуре, вычислен главный
вектор и главный момент относительно центра тела.
В основном, решения задач приведены для бесциркуляционного потока; в последней части работы для заданного контура приведены графики обтекания для потока с циркуляцией.
Правильность полученных результатов подтверждается следующими соображениями.
1. При уменьшении малого параметра в выражении для формы контура приходим
к предельному случаю  обтеканию кругового бесконечного цилиндра. Формулы для
вычисления потенциала скоростей, функций тока, давления на круговом контуре даны во многих учебниках, например [7],[8],[9]. Выражения, полученные в предельном случае нашей работы (например, в формулах (8),(14)), совпадают с выражениями из учебников для кругового контура.
2. В работе представлен случай для формы контура в виде r = 1+acosθ: Для этого
случая приведено выражение для потенциала скоростей двумя разными методами.
Первый метод представлен в [10] , второй метод  метод, разбираемый в нашей работе, т.е. метод М.А. Лаврентьева (вариационный принцип коформных отображений). Эти два выражения для потенциала скоростей совпадают с точностью до постоянной.
3. В работе вычислен главный вектор сил при циркуляционном обтекании цилиндра с сечением вида r = 1+a(cos2θ +k cos 4θ); (a  малый параметр, k  постоянная)
 формула (30). Это выражение соответствует известной формуле Жуковского. Для бесциркуляционного обтекания получаем главный вектор сил, равный нулю (парадокс Д’Аламбера)
Купить