Самовозбуждающиеся и скрытые аттракторы в системе Хенона
|
Введение 4
Динамические системы и аттракторы 9
1.1. Определение динамической системы . . . . . . . . . . . . 9
1.2. Аттракторы динамических систем . . . . . . . . . . . . . 10
1.3. Скрытые и самовозбуждающиеся аттракторы . . . . . . 12
1.4. Способы локализации скрытых аттракторов . . . . . . . 13
Локализация аттракторов
в системе Хенона 16
2.1. Динамические свойства системы . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2. Локализация скрытого аттрактора в дискретной системе
Хенона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Заключение 27
Список литературы 28
Приложение А 32
Приложение B 49
Динамические системы и аттракторы 9
1.1. Определение динамической системы . . . . . . . . . . . . 9
1.2. Аттракторы динамических систем . . . . . . . . . . . . . 10
1.3. Скрытые и самовозбуждающиеся аттракторы . . . . . . 12
1.4. Способы локализации скрытых аттракторов . . . . . . . 13
Локализация аттракторов
в системе Хенона 16
2.1. Динамические свойства системы . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2. Локализация скрытого аттрактора в дискретной системе
Хенона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Заключение 27
Список литературы 28
Приложение А 32
Приложение B 49
Предположение о том, что кажущиеся случайными события возни-
кают в системах, описывающих сложные процессы, появилось еще в
середине 19-го века. Уже в 1860 году Джеймс Максвелл обсуждал, как
столкновения молекул газа могут привести к постепенному усилению
небольших изменений и вызвать микроскопическую хаотичность [29].
Позднее, в 1890 году, известный французский математик и физик Анри
Пуанкаре обнаружил чувствительную зависимость от начальных усло-
вий решения системы, описывающей взаимодействие трех тел в частном
случае, и после этого сделал предположение, что такие явления могут
быть вполне обычными [30].
В общем использовании хаос понимается как полное отсутствие свя-
зи между случайными событиями. С научной точки зрения понятие
хаоса связано с явным отсутствием порядка в системе, которая, тем не
менее, подчиняется определенным законам или правилам. Хаос в этом
смысле является синонимом динамической нестабильности. Это свой-
ство связано с присущим хаосу отсутствием предсказуемости в некото-
рых физических системах. Фундаментальные работы Анри Пуанкаре,
а также последующие работы Алексея Михайловича Ляпунова, Джор-
джа Дейвида Биркгофа и Андрея Николаевича Колмогорова легли в
основу теории хаоса, а также дали толчок к развитию нелинейной ди-
намики и качественной теории дифференциальных уравнений.
Однако до некоторого момента времени считалось, что хаос в си-
стеме возникает из-за ее сложности, а некоторые системы и вовсе не
поддавались стандартному анализу. Так, например, уравнения Навье-
Стокса для потока жидкости в общем случае невозможно проанализи-
ровать традиционными математическими методами, но определенные
упрощенные дифференциальные уравнения, которые описывали част-
ные случаи в потоке жидкости, могли поддаваться анализу и демон-
стрировать явление хаоса. Так, в 1944 году была опубликована статья
советского физика Льва Давидовича Ландау «К проблеме турбулент-
ности» [35]. В своей работе он анализировал периодические и квази-
периодические уравнения и предположил, что турбулентность в жид-
кости возникает в результате каскада последовательных бифуркаций
— изменений характера движения динамической системы на большом
временном промежутке при изменении одного или нескольких пара-
метров системы. Аналогичное предположение развивал и немецкий ма-
тематик Эберхард Хопф в своей работе 1948 года [21], поэтому дан-
ный подход к возникновению турбулентности еще называют сценарием Ланаду-Хопфа.
В 1971 году Давид Руэль и Флорис Такенс подвергли критике иссле-
дования Ландау. По их мнению, достаточно было рассмотрения неболь-
шого числа частот, чтобы динамика системы стала турбулентной. Такое
турбулентное поведение системы было связано с появлением в фазовом
пространстве нового типа аттракторов — странного аттрактора. Он
также являлся притягивающим множеством в фазовом пространстве
системы, но траектории на нем вели себя неустойчиво, а его геометри-
ческая структура представляла собой то, что в дальнейшем стало на-
зываться фрактальным множеством или фракталом. Таким образом,
появление в этой системе странного аттрактора стало признаком нача-
ла турбулентности и положило начало нового подхода к исследованию
динамических систем.
В 1963 году американский математик и метеоролог Эдвард Лоренц
опубликовал статью, в которой он исследовал процесс конвекции жид-
кости в двумерном слое и обнаружил более сложное поведение систе-
мы [28]. Анализ этого поведения был тесно связан с феноменом хаоса, а
именно чувствительной зависимости от начальных условий, а последу-
ющее моделирование на ЭВМ подтвердило хаотическое поведение си-
стемы и позволило визуализировать первый странный хаотический ат-
трактор в фазовом пространстве системы. В последствии данная трех-
мерная система получила название «система Лоренца», и до сих пор
она имеет огромный научный интерес.
Так, в 1969 году системой Лоренца заинтересовался французский
математик и астроном Мишель Хенон (Энон или Эно) [13]. В своей ра-
боте он показал, что важные и существенные свойства динамических
систем, определяемые дифференциальными уравнениями, могут быть
сохранены с помощью тщательно подобранных приближающих отобра-
жений. За основу была взята трехмерная система Лоренца, а в качестве
приближающего отображения — сечение Пуанкаре [4], что в результате
дало отображение, которое сейчас нам известно как отображение Хе-
нона (или Henon map). Оно задано следующим образом:
x -> 1 -ax2 +y
y -> bx (1.1)
Стоит отметить, что ранее отображение Хенона рассматривалось
строго как математическое преобразование плоскости. Однако есть и
физические интерпретации, одна из которых была выявлена Офером
Бихамом и Вольфгангом Венцелем [3]. Они показали, что траектории
отображения однозначно отождествляются с экстремумами определен-
ной функции Гамильтона, описывающей бесконечную цепочку взаим-
но взаимодействующих атомов под воздействием внешнего потенциала.
Также из последних исследований стало известно, что отображение Хе-
нона эквивалентно отображению периодически колеблющегося гармо-
нического осциллятора с подходящей нелинейной связью [12], поэтому
это отображение имеет не только математический интерес, но интерес
с точки зрения физики.
Отображение Хенона, как и система Лоренца, имеет в своем фазо-
вом пространстве странный хаотический аттрактор. Он возникает из-за
последовательности бифуркаций удвоения периода цикла или сценария
Фейгенбаума [11]. Однако странный аттрактор существует не при всех
параметрах системы, из-за чего возникает задача его численной локализации.
С вычислительной точки зрения важную роль в исследовании си-
стем играет вопрос локализации предельных множеств или аттракто-
ров в фазовом пространстве. Аттрактор представляет собой множество
точек в фазовом пространстве системы, к которому приближаются тра-
ектории после переходного процесса, а его притягивающее множество
называется бассейном притяжения. В начальный период развития тео-
рии нелинейной динамики и теории хаоса больше внимания уделялось
анализу систем, для которых проблема возникновения периодических и
хаотических колебаний решалась довольно просто. Это происходило из-
за того, что структура большинства динамических систем приводила к
появлению самовозбуждающихся колебаний и процессов, которые появ-
лялись из окрестности неустойчивых состояний равновесия. Например,
численно обнаруженные хаотические колебания в системе Лоренца, а
также последующие найденные колебания в известных системах Рёс-
слера, Чуа и др. оказались самовозбуждающимися. Чтобы обнаружить
такие колебания, используется стандартная вычислительная процеду-
ра, в которой траектории строятся из точки неустойчивого многообра-
зия в окрестности неустойчивого состояния равновесия и притягивают-
ся к некоторому аттрактору, тем самым задавая его.
Однако последующие исследования показали, что существует еще
один тип аттракторов, которые позднее были названы скрытыми ат-
тракторами. В отличие от самовозбуждающихся аттракторов, бассейн
притяжения скрытых аттракторов не пересекается с окрестностями
неустойчивых состояний равновесия, что усложняет их численную ло-
кализацию. Появление такого типа аттракторов относят ко второй ча-
сти 16-ой проблемы Гильберта о взаимном расположении предельных
циклов и их количестве в двумерных системах [20]. Также скрытые
аттракторы возникали в гипотезах Айзермана и Кальмана [22, 34], и
являлись контрпримерами к их предположениям. В 2010 году Генадий
Александрович Леонов и Николай Владимирович Кузнецов предложи-
ли новый метод поиска скрытых аттракторов в многомерных систе-
мах [26], который в дальнейшем позволил впервые обнаружить скры-
тый хаотический аттрактор в электронном контуре Чуа [23, 24].
В работе [10] скрытые аттракторы в системе Хенона были лока-
лизованы с помощью нестационарных точек с нулевым ускорением
(или perpetual points). Предположение, что скрытые аттракторы могут
быть локализованы из такого типа точек, ранее было выдвинуто в рабо-
тах [31,32], но это предположение до сих пор не доказано аналитически.
Основной целью данной работы является локализация скрытых аттракторов в фазовом пространстве системы Хенона, посредством процедуры продолжения по параметру и верификация результатов, полученных в работе [10].
кают в системах, описывающих сложные процессы, появилось еще в
середине 19-го века. Уже в 1860 году Джеймс Максвелл обсуждал, как
столкновения молекул газа могут привести к постепенному усилению
небольших изменений и вызвать микроскопическую хаотичность [29].
Позднее, в 1890 году, известный французский математик и физик Анри
Пуанкаре обнаружил чувствительную зависимость от начальных усло-
вий решения системы, описывающей взаимодействие трех тел в частном
случае, и после этого сделал предположение, что такие явления могут
быть вполне обычными [30].
В общем использовании хаос понимается как полное отсутствие свя-
зи между случайными событиями. С научной точки зрения понятие
хаоса связано с явным отсутствием порядка в системе, которая, тем не
менее, подчиняется определенным законам или правилам. Хаос в этом
смысле является синонимом динамической нестабильности. Это свой-
ство связано с присущим хаосу отсутствием предсказуемости в некото-
рых физических системах. Фундаментальные работы Анри Пуанкаре,
а также последующие работы Алексея Михайловича Ляпунова, Джор-
джа Дейвида Биркгофа и Андрея Николаевича Колмогорова легли в
основу теории хаоса, а также дали толчок к развитию нелинейной ди-
намики и качественной теории дифференциальных уравнений.
Однако до некоторого момента времени считалось, что хаос в си-
стеме возникает из-за ее сложности, а некоторые системы и вовсе не
поддавались стандартному анализу. Так, например, уравнения Навье-
Стокса для потока жидкости в общем случае невозможно проанализи-
ровать традиционными математическими методами, но определенные
упрощенные дифференциальные уравнения, которые описывали част-
ные случаи в потоке жидкости, могли поддаваться анализу и демон-
стрировать явление хаоса. Так, в 1944 году была опубликована статья
советского физика Льва Давидовича Ландау «К проблеме турбулент-
ности» [35]. В своей работе он анализировал периодические и квази-
периодические уравнения и предположил, что турбулентность в жид-
кости возникает в результате каскада последовательных бифуркаций
— изменений характера движения динамической системы на большом
временном промежутке при изменении одного или нескольких пара-
метров системы. Аналогичное предположение развивал и немецкий ма-
тематик Эберхард Хопф в своей работе 1948 года [21], поэтому дан-
ный подход к возникновению турбулентности еще называют сценарием Ланаду-Хопфа.
В 1971 году Давид Руэль и Флорис Такенс подвергли критике иссле-
дования Ландау. По их мнению, достаточно было рассмотрения неболь-
шого числа частот, чтобы динамика системы стала турбулентной. Такое
турбулентное поведение системы было связано с появлением в фазовом
пространстве нового типа аттракторов — странного аттрактора. Он
также являлся притягивающим множеством в фазовом пространстве
системы, но траектории на нем вели себя неустойчиво, а его геометри-
ческая структура представляла собой то, что в дальнейшем стало на-
зываться фрактальным множеством или фракталом. Таким образом,
появление в этой системе странного аттрактора стало признаком нача-
ла турбулентности и положило начало нового подхода к исследованию
динамических систем.
В 1963 году американский математик и метеоролог Эдвард Лоренц
опубликовал статью, в которой он исследовал процесс конвекции жид-
кости в двумерном слое и обнаружил более сложное поведение систе-
мы [28]. Анализ этого поведения был тесно связан с феноменом хаоса, а
именно чувствительной зависимости от начальных условий, а последу-
ющее моделирование на ЭВМ подтвердило хаотическое поведение си-
стемы и позволило визуализировать первый странный хаотический ат-
трактор в фазовом пространстве системы. В последствии данная трех-
мерная система получила название «система Лоренца», и до сих пор
она имеет огромный научный интерес.
Так, в 1969 году системой Лоренца заинтересовался французский
математик и астроном Мишель Хенон (Энон или Эно) [13]. В своей ра-
боте он показал, что важные и существенные свойства динамических
систем, определяемые дифференциальными уравнениями, могут быть
сохранены с помощью тщательно подобранных приближающих отобра-
жений. За основу была взята трехмерная система Лоренца, а в качестве
приближающего отображения — сечение Пуанкаре [4], что в результате
дало отображение, которое сейчас нам известно как отображение Хе-
нона (или Henon map). Оно задано следующим образом:
x -> 1 -ax2 +y
y -> bx (1.1)
Стоит отметить, что ранее отображение Хенона рассматривалось
строго как математическое преобразование плоскости. Однако есть и
физические интерпретации, одна из которых была выявлена Офером
Бихамом и Вольфгангом Венцелем [3]. Они показали, что траектории
отображения однозначно отождествляются с экстремумами определен-
ной функции Гамильтона, описывающей бесконечную цепочку взаим-
но взаимодействующих атомов под воздействием внешнего потенциала.
Также из последних исследований стало известно, что отображение Хе-
нона эквивалентно отображению периодически колеблющегося гармо-
нического осциллятора с подходящей нелинейной связью [12], поэтому
это отображение имеет не только математический интерес, но интерес
с точки зрения физики.
Отображение Хенона, как и система Лоренца, имеет в своем фазо-
вом пространстве странный хаотический аттрактор. Он возникает из-за
последовательности бифуркаций удвоения периода цикла или сценария
Фейгенбаума [11]. Однако странный аттрактор существует не при всех
параметрах системы, из-за чего возникает задача его численной локализации.
С вычислительной точки зрения важную роль в исследовании си-
стем играет вопрос локализации предельных множеств или аттракто-
ров в фазовом пространстве. Аттрактор представляет собой множество
точек в фазовом пространстве системы, к которому приближаются тра-
ектории после переходного процесса, а его притягивающее множество
называется бассейном притяжения. В начальный период развития тео-
рии нелинейной динамики и теории хаоса больше внимания уделялось
анализу систем, для которых проблема возникновения периодических и
хаотических колебаний решалась довольно просто. Это происходило из-
за того, что структура большинства динамических систем приводила к
появлению самовозбуждающихся колебаний и процессов, которые появ-
лялись из окрестности неустойчивых состояний равновесия. Например,
численно обнаруженные хаотические колебания в системе Лоренца, а
также последующие найденные колебания в известных системах Рёс-
слера, Чуа и др. оказались самовозбуждающимися. Чтобы обнаружить
такие колебания, используется стандартная вычислительная процеду-
ра, в которой траектории строятся из точки неустойчивого многообра-
зия в окрестности неустойчивого состояния равновесия и притягивают-
ся к некоторому аттрактору, тем самым задавая его.
Однако последующие исследования показали, что существует еще
один тип аттракторов, которые позднее были названы скрытыми ат-
тракторами. В отличие от самовозбуждающихся аттракторов, бассейн
притяжения скрытых аттракторов не пересекается с окрестностями
неустойчивых состояний равновесия, что усложняет их численную ло-
кализацию. Появление такого типа аттракторов относят ко второй ча-
сти 16-ой проблемы Гильберта о взаимном расположении предельных
циклов и их количестве в двумерных системах [20]. Также скрытые
аттракторы возникали в гипотезах Айзермана и Кальмана [22, 34], и
являлись контрпримерами к их предположениям. В 2010 году Генадий
Александрович Леонов и Николай Владимирович Кузнецов предложи-
ли новый метод поиска скрытых аттракторов в многомерных систе-
мах [26], который в дальнейшем позволил впервые обнаружить скры-
тый хаотический аттрактор в электронном контуре Чуа [23, 24].
В работе [10] скрытые аттракторы в системе Хенона были лока-
лизованы с помощью нестационарных точек с нулевым ускорением
(или perpetual points). Предположение, что скрытые аттракторы могут
быть локализованы из такого типа точек, ранее было выдвинуто в рабо-
тах [31,32], но это предположение до сих пор не доказано аналитически.
Основной целью данной работы является локализация скрытых аттракторов в фазовом пространстве системы Хенона, посредством процедуры продолжения по параметру и верификация результатов, полученных в работе [10].
В данной работе были решены следующие задачи:
1. Реализован алгоритм построения бифуркаций, бассейнов притяжения и карты динамических режимов для системы Хенона;
2. Реализован алгоритм локализации скрытых аттракторов при помощи нестационарных точек с нулевым ускорением;
3. Разработан алгоритм локализации скрытых аттракторов посредством процедуры продолжения по параметру;
4. Проведена численная верификация гипотезы и результатов, полученных в статье [10], показывающая, что результаты не верны.
1. Реализован алгоритм построения бифуркаций, бассейнов притяжения и карты динамических режимов для системы Хенона;
2. Реализован алгоритм локализации скрытых аттракторов при помощи нестационарных точек с нулевым ускорением;
3. Разработан алгоритм локализации скрытых аттракторов посредством процедуры продолжения по параметру;
4. Проведена численная верификация гипотезы и результатов, полученных в статье [10], показывающая, что результаты не верны.
