Оптимальное планирование эксперимента для экспоненциальной регрессии

Введение ...................................................................................................................................................................... 3
Постановка задачи ....................................................................................................................................................... 5
Глава I. Обзор литературы .......................................................................................................................................... 6
Глава II. Оптимальный план для регрессионного эксперимента .......................................................................... 10
2.1. Классическая схема регрессии ..................................................................................................................... 10
2.2. Нелинейная экспоненциальная регрессия .................................................................................................. 11
2.3. ЛокальноD -оптимальные планы для экспоненциальной регрессии ..................................................... 12
Глава III. Метод случайного поиска глобального экстремума на основе оценивания элементов матрицы
ковариаций ................................................................................................................................................................ 14
3.1. Простейший случайный поиск (слепой поиск) ............................................................................................ 14
3.2. Доказательство сходимости простейшего случайного поиска .................................................................. 15
3.3. Оценивание числа испытаний ...................................................................................................................... 16
3.4. Случайный поиск с “памятью” ...................................................................................................................... 16
3.5. Введение неравномерного распределения ................................................................................................ 17
3.6. Алгоритм метода случайного поиска с “памятью” ..................................................................................... 18
Глава IV. Метод Метрополиса для нахождения моды плотности распределения случайных величин ............ 25
4.1. Выборка с отклонением ................................................................................................................................ 25
4.2. Модифицированная выборка с отклонением ............................................................................................. 26
4.3. Метод Метрополиса ...................................................................................................................................... 27
4.4. Частный случай алгоритма Метрополиса .................................................................................................... 28
Глава V. Численные результаты ............................................................................................................................... 30
Выводы ....................................................................................................................................................................... 33
Заключение ................................................................................................................................................................ 34
Список литературы .................................................................................................................................................... 35
Приложения ............................................................................................................................................................... 39
Приложение 1. Моделирование равномерно распределенного вектора в заданной области .................... 39
Приложение 2. Метод Монте-Карло для оценки интегралов .......................................................................... 39
Приложение 3. Моделирование нормально распределенного случайного вектора [11] ............................. 41
1). Моделирование двумерного нормального распределения ..................................................................... 41
2). Моделирование многомерного нормального распределения ................................................................. 42
Приложение 4. Листинг программы. .................................................................................................................. 44
Купить

Наличие большого числа прикладных задач стимулировало раз-
витие математической теории оптимального эксперимента.
В условиях дороговизны экспериментов или при проведении экс-
периментов, которые невозможно воспроизвести повторно, требуется
предварительное планирование. Здесь важным для нас является поня-
тие имитационного эксперимента, направленного на изучение реально-
го процесса с последующим построением имитационной модели и по-
лучения реализаций некоторой случайной функции. Квалифицирован-
ное планирование приводит к сокращению времени, числа и стоимости
измерений, в повышении точности восстановления неизвестной зави-
симости, в возрастании достоверности полученных выводов.
Во многих областях науки, например, таких как ядерная физика,
спектроскопия, дистанционное зондирование атмосферы, регистрация
и анализ изображений, анализ состава веществ, оптические методы ин-
дикации неоднородностей и загрязнений среды, цветовые измерения и
т.д. возникают задачи восстановления распределений различной при-
роды и оценивания их параметров [17,24,26,28,38].
Когда создана математическая модель и выбран метод планиро-
вания можно приступать к имитированию эксперимента с помощью
компьютера, т. е. разработке и реализации алгоритма, возвращающего
результаты, аналогичные измеренным данным. В том случае, когда мы
имеем дело с задачей восстановления неизвестной функции по резуль-
татам измерения ее значений, требуется подобрать подходящую функ-
цию, а затем вычислять ее значения и генерировать ошибку с помощью
генератора случайных чисел.
Понятно, что применение методов планирования эксперимента
может дать значительный экономический эффект, но отсутствие соот-
ветствующего оптимального плана может сделать экспериментальную
программу полностью безрезультатной.
Основное внимание в этой работе уделено получению оптимального плана.
Планирование эксперимента предполагает наличие математиче-
ской модели и критерия оптимальности. Сложный характер критериев
требует специальных методов оптимизации. В диссертации рассматри-
ваются два метода случайного поиска глобального экстремума: метод
Метрополиса и ранее изученный метод случайного поиска глобального
экстремума с “памятью”. Оба метода позволяют получать реализации
случайного вектора с плотностью, пропорциональной целевой функции
и далее находить моду рассматриваемой плотности и тем самым полу-
чаем максимум исходной функции.
Магистерская диссертация является продолжением работы над бака-
лаврским дипломом, где находились оптимальные планы для линейной ре-
грессии с использованием случайного поиска.
Настоящая работа прошла апробацию на международных науч-
ных конференциях:
1. III международной конференции “Устойчивость и процессы управле-
ния”, 5-9 октября 2015 г.
2. III International Conference “Stability and Control Processes” in Memory of
V.I.Zubov, 2015.
3. 48 международной научной конференции аспирантов и студентов
“Процессы управления и устойчивость”, 3-6 апреля 2017 г.
Купить