Дискретные аналоги рекордов с ограничениями
|
1 Введение 4
1.1 Общие сведения о теории рекордов 4
1.2 Рекорды с ограничением в случае непрерывных распределений 5
1.3 Классические дискретные рекорды 7
1.4 Рекорды с δ—превышением и случайные блуждания 7
2 Основные результаты 8
2.1 Рекорды с ограничением I 8
2.2 Рекорды с ограничением I для геометрически распределенных величин 10
2.3 Рекорды с ограничением II 11
2.4 Рекорды с ограничением III 13
2.5 Рекорды с превышением в случайных блужданиях 15
2.5.1 Математическое ожидание количества рекордов 16
2.5.2 Максимальное рекордное значение 19
3 Заключение 21
Список литературы 22
1.1 Общие сведения о теории рекордов 4
1.2 Рекорды с ограничением в случае непрерывных распределений 5
1.3 Классические дискретные рекорды 7
1.4 Рекорды с δ—превышением и случайные блуждания 7
2 Основные результаты 8
2.1 Рекорды с ограничением I 8
2.2 Рекорды с ограничением I для геометрически распределенных величин 10
2.3 Рекорды с ограничением II 11
2.4 Рекорды с ограничением III 13
2.5 Рекорды с превышением в случайных блужданиях 15
2.5.1 Математическое ожидание количества рекордов 16
2.5.2 Максимальное рекордное значение 19
3 Заключение 21
Список литературы 22
1.1 Общие сведения о теории рекордов
Рассмотрим случайные величины X1, Х2,... и определим рекордные моменты L(n) и ре-
кордные величины Х (n), n = 1,2,... следующим образом: первый рекордный момент L(1)
всегда равен 1, а последующие определяются следующим соотношением:
L(n) = min{j > L(n − 1) : Xj > X(n − 1)},
X(n) = XL(n) = max{X1, X2, . . . , XL(n)}, n = 2, 3, . . . .
Эти соотношения задают верхние рекордные моменты и верхние рекордные величины. Со-
ответственно, последовательности случайных величин, определяемые равенствами
l(1) = 1, x(1) = X1, l(n) = min{j > l(n − 1) : Xj < x(n − 1)},
x(n) = XL(n) = min{X1, X2, . . . , XL(n)}, n = 2, 3, . . . ,
представляют собой нижние рекордные моменты l(n), n = 1,2,... и нижние рекордные ве-
личины x(n), = 1,2,....
Рассмотрение величин Y1 = —X1, Y2 = —Х2,... вместо исходных Х-ов позволяет перейти
от верхних рекордов к нижним, поэтому достаточно ограничиться только исследованием
верхних рекордов.
В теории рекордов обычно по отдельности рассмативают два, случая: случай, при котором
исходные случайные величины имеют непрерывное распределение, и случай, когда они име-
ют дискретное распределение. В дискретном случае, чтобы с вероятностью единица были
определены все величины Х(n), n = 1,2,... , необходимо, чтобы у исходного распределения
не было последней точки роста, т.е. такой точки а, что
Р{Х
предыдущего рекордного значения засчитывается как новый рекорд.
Lω(1) = 1
Lω(n) = min{j > Lω(n − 1) : Xj > X(n − 1)},
Xω(n) = XLω (n) = max{X1, X2, . . . , XLω (n)}, n = 2, 3, . . . .
Примеры слабых рекордов могут дать, например, те виды спорта, (стрельба, легкая атлети-
ка), где спортсмен, повторивший рекордное достижение, также объявляется рекордсменом.
Такая классическая рекордная модель и ее обобщения, в которых, как правило, рассмат-
риваются независимые одинаково распределенные случайные величины Х1, Х2,..., хорошо изучены [1].
Менее изученными остаются ситуации, в которых исходные случайные величины могут
иметь разные распределения, например в Р°-схеме, где функции распределения Ё,(х2) =
Р{Хk < x} связаны соотношениями
Fk(x) = Fa(k)(x), k = 1, 2, . . . ,
где a(1),a(2),... — произвольные положительные константы, a F(x) — некоторая функ-
ция распределения. Также рассматриваются рекордные схемы, в которых исходные слу-
чайные величины независимы и одинаково распределены, а рекордные величины определя-
ются "неклассически" , например, рекорды с δ-превышением, введенные в [2], или рекорды
с ограничениями, рассмотренные в [3].
1.2 Рекорды с ограничением в случае непрерывных распределений
Рассмотрим первую модель рекордов с ограничениями, в которой мы будем игнорировать
все наблюдения, которые превышают последнее рекордное значение более чем на некото-
рую фиксированную положительную константу С. Пусть Х1, X2,...— последовательность
независимых одинаково распределенных величин, а С’— фиксированная положительная
константа. В качестве первой рекордной величины и первого рекордного момента возьмем
Х (1) = Х1 и L(1) = 1. Последующие рекордные величины и моменты определим как
L(n) = min{j > L(n − 1) : X(n − 1) < Xj <= X(n − 1) + C}, (1)
X(n) = XL(n) n = 2, 3, . . . .
Если снова обратиться к результатам спортивных соревнований, то слишком существенные
превышения предыдущих рекордов могут вызвать опасения, что данный результат достиг-
нут нечестными путями. Например, могли быть использованы нестандартные спортивные
снаряды или спортсменами употреблялись запрещенные препараты. В статье [3] рассмотре-
на модель рекордов с ограничениями в случае, когда исходные случайные величины имеют
непрерывную функцию распределения F(x) и плотность p(x). Были получены следующие результаты:
• Выражение для pn(xn | x1, x2, . . . , xn−1) — плотности распределения рекордной вели-
чины Х (п) при условии, что зафиксированы значения
X(1) = x1, X(2) = x2, . . . , X(n − 1) = xn−1,
rде 0 < xj − xj−1 <= C, j = 2, 3, . . . , n − 1:
pn(xn | x1, x2, . . . , xn−1) = p(xn)/(F (xn−1 + C) − F (xn−1)),
если xn−1 < xn <= xn−1 + C, и pn(xn | x1, x2, . . . , xn−1) = 0 иначе.
• Выражение для совместной плотности распределения pn (x1, x2,..., xn) рекордных ве-
личин Х (1), Х(2),...,Х(n):
pn(x1, x2, . . . , xn) =
p(x1) p(x2)/(F (x1 + C) − F (x1)) . . . p(xn)/(F (xn−1 + C) − F (xn−1) ),
если x1 < x2 <= x1 + C, x2 < x3 <= x2 + C, . . . xn−1 < xn <= xn−1 + C , и
pn(x1, x2, . . . , xn) = 0 иначе.
Также, если исходные случайные величины ограничены снизу некоторой константой
а > −∞, то
pn(x1, x2, . . . , xn) =
p(x1)/F(a + C) p(x2)/(F (x1 + C) − F (x1)) . . . p(xn)/(F (xn−1 + C) − F (xn−1) ),
если a < x1 <= a + C, x1 < x2 <= x1 + C, . . . xn−1 < xn <= xn−1 + C , и
pn(x1, x2, . . . , xn) = 0 иначе.
• Если исходные случайные величины имеют стандартное Е(1) экспоненциальное рас-
пределение, то полученные формулы переписываются в виде:
pn(x1, x2, . . . , xn) = e−xn / (1 − e−C )n,
если 0 < x1 <= C, x1 < x2 <= x1 +C, . . . xn−1 < xn <= xn−1 +C , и pn(x1, x2, . . . , xn) = 0
иначе.
• Одинаково распределенными являются случайные векторы
{X (1), X(2),...,X(n)}
и
{W1, W1 + W2, . . . , W1 + W2 + . . . + Wn},
где независимые случайные величины W1, W2, . . . , Wn, имеют плотность распределения
g(x) = e−x / (1 − e−C ),
если 0 <= x <= C , и g(x) = 0 инаяе.
Также была рассмотрена вторая модель рекордов с ограничениями: снова, зафиксируем
положительную константу С, но в этом случае значение, превышающее последний рекорд
Х (п) больше чем Ha С, не теряется, и новой рекордной величиной объявляется Х (п + 1) =
Х (п) + С. Если же наблюдение попало в интервал (Х (п), Х (п) + С], то оно и становится
новой рекордной величиной X(n+1).
Для нее, в случае экспоненциально распределенных исходных случайных величин, было
получено, что одинаково распределенными являются векторы
{X(1), X(2), . . . , X(n)}
и
{V1, V1 + V2, . . . , V1 + V2 + . . . + Vn},
где независимые случайные величины V1, V2, . . . , Vn, имеют функцию распределения
P{V (k) < x} =
1 − e−x , 0 <= x <= C
1 , x > C.
В этой работе мы получим аналогичные результаты для рекордных схем с ограничениями
в случае дискретных распределений.
1.3 Классические дискретные рекорды
Приведем несколько результатов для классических дискретных рекордов из [1], для того
чтобы далее провести аналогию с полученными результатами.
Теорема 1 Пусть Х1, Х2,... — независимые случайные величины, принимающие значе-
ния 1,2,... с вероятностями
pk = P{Xj = k} = (1 − p)pk−1, j = 1, 2, . . . , k = 1, 2, . . . .
Тогда случайные величины X (1), X(2)—X (1), Х(3)-Х(2),... независимы, и имеют, то же
геометрическое распределение, что и истодные случайные величины Х1, Х2, ....
Теорема 2 В условиях теоремы 1 для любого п = 1,2,... справедливо равенство
X(n) d= X1 + X2 + . . . + Xn.
Поскольку случайные величины Х1, Х2,... независимы, одинаково распределены и имеют
математические ожюидания а = 1/(1— р) и дисперсии σ² = р/(1 — р)², мы получаем что
(X(n) − na) / (σn1/2) = ((1 − p)X(n) − n) / ((np)1/2) -> n→∞ N(0, 1),
где N(0,1) — стандартное нормальное распределение.
1.4 Рекорды с д-превышением и случайные блуждания
В 1996 г. в работе [2] были введены так называемые рекорды с δ-превышением. В этой схе-
ме для объявления очередного наблюдения рекордным требовалось, чтобы оно превышало
предыдущее рекордное достижение более чем Ha некоторое значение δ. Для последователь-
ности независимых случайных величин Х1, X2,..., имеющих одинаковую функцию распре-
деления, рекордные моменты и рекордные величины определяются следующим образом:
L(n) = min{j > L(n − 1) : Xj > X(n − 1) + δ},
X(n) = XL(n) n = 2, 3, . . . .
Рекорды с δ—превышением возникают, например, в счетчиках частиц второго типа. Счет-
чик выставляют в радиусе действия источника, излучения частиц (например, радиоактив-
ный материал). Частицы попадают в счетчик, но в силу некоторых физических ограничений
конструкции прибора, не все частицы регистрируются. В счетчиках второго типа, после при-
бытия частицы (зарегистрированного или нет) новые частицы перестают регистрироваться
в период времени δ, причем новые частицы, прибывающие в этот период восстановления
счетчика, продливают его. Таким образом, только те частицы, которые не попали в период
восстановления, регистрируются.
В работе [4] показано, что количество зарегистрированных частиц до момента # является
количеством рекордов с δ—превышением для величин с некоторой функцией распределе-
ния. Рекорды с δ—превышением рассмотрены в [5] [6] в случаях δ > 0 δ < 0 и в [7] в
дискретном случае.
В работах [8] [9] [10] рассматриваются рекордные величины в случайных блужданиях. В
этой работе мы постараемся обобщить некоторые результаты для дискретных случайных
блужданий на случай рекордов с превышениями.
Рассмотрим случайные величины X1, Х2,... и определим рекордные моменты L(n) и ре-
кордные величины Х (n), n = 1,2,... следующим образом: первый рекордный момент L(1)
всегда равен 1, а последующие определяются следующим соотношением:
L(n) = min{j > L(n − 1) : Xj > X(n − 1)},
X(n) = XL(n) = max{X1, X2, . . . , XL(n)}, n = 2, 3, . . . .
Эти соотношения задают верхние рекордные моменты и верхние рекордные величины. Со-
ответственно, последовательности случайных величин, определяемые равенствами
l(1) = 1, x(1) = X1, l(n) = min{j > l(n − 1) : Xj < x(n − 1)},
x(n) = XL(n) = min{X1, X2, . . . , XL(n)}, n = 2, 3, . . . ,
представляют собой нижние рекордные моменты l(n), n = 1,2,... и нижние рекордные ве-
личины x(n), = 1,2,....
Рассмотрение величин Y1 = —X1, Y2 = —Х2,... вместо исходных Х-ов позволяет перейти
от верхних рекордов к нижним, поэтому достаточно ограничиться только исследованием
верхних рекордов.
В теории рекордов обычно по отдельности рассмативают два, случая: случай, при котором
исходные случайные величины имеют непрерывное распределение, и случай, когда они име-
ют дискретное распределение. В дискретном случае, чтобы с вероятностью единица были
определены все величины Х(n), n = 1,2,... , необходимо, чтобы у исходного распределения
не было последней точки роста, т.е. такой точки а, что
Р{Х
предыдущего рекордного значения засчитывается как новый рекорд.
Lω(1) = 1
Lω(n) = min{j > Lω(n − 1) : Xj > X(n − 1)},
Xω(n) = XLω (n) = max{X1, X2, . . . , XLω (n)}, n = 2, 3, . . . .
Примеры слабых рекордов могут дать, например, те виды спорта, (стрельба, легкая атлети-
ка), где спортсмен, повторивший рекордное достижение, также объявляется рекордсменом.
Такая классическая рекордная модель и ее обобщения, в которых, как правило, рассмат-
риваются независимые одинаково распределенные случайные величины Х1, Х2,..., хорошо изучены [1].
Менее изученными остаются ситуации, в которых исходные случайные величины могут
иметь разные распределения, например в Р°-схеме, где функции распределения Ё,(х2) =
Р{Хk < x} связаны соотношениями
Fk(x) = Fa(k)(x), k = 1, 2, . . . ,
где a(1),a(2),... — произвольные положительные константы, a F(x) — некоторая функ-
ция распределения. Также рассматриваются рекордные схемы, в которых исходные слу-
чайные величины независимы и одинаково распределены, а рекордные величины определя-
ются "неклассически" , например, рекорды с δ-превышением, введенные в [2], или рекорды
с ограничениями, рассмотренные в [3].
1.2 Рекорды с ограничением в случае непрерывных распределений
Рассмотрим первую модель рекордов с ограничениями, в которой мы будем игнорировать
все наблюдения, которые превышают последнее рекордное значение более чем на некото-
рую фиксированную положительную константу С. Пусть Х1, X2,...— последовательность
независимых одинаково распределенных величин, а С’— фиксированная положительная
константа. В качестве первой рекордной величины и первого рекордного момента возьмем
Х (1) = Х1 и L(1) = 1. Последующие рекордные величины и моменты определим как
L(n) = min{j > L(n − 1) : X(n − 1) < Xj <= X(n − 1) + C}, (1)
X(n) = XL(n) n = 2, 3, . . . .
Если снова обратиться к результатам спортивных соревнований, то слишком существенные
превышения предыдущих рекордов могут вызвать опасения, что данный результат достиг-
нут нечестными путями. Например, могли быть использованы нестандартные спортивные
снаряды или спортсменами употреблялись запрещенные препараты. В статье [3] рассмотре-
на модель рекордов с ограничениями в случае, когда исходные случайные величины имеют
непрерывную функцию распределения F(x) и плотность p(x). Были получены следующие результаты:
• Выражение для pn(xn | x1, x2, . . . , xn−1) — плотности распределения рекордной вели-
чины Х (п) при условии, что зафиксированы значения
X(1) = x1, X(2) = x2, . . . , X(n − 1) = xn−1,
rде 0 < xj − xj−1 <= C, j = 2, 3, . . . , n − 1:
pn(xn | x1, x2, . . . , xn−1) = p(xn)/(F (xn−1 + C) − F (xn−1)),
если xn−1 < xn <= xn−1 + C, и pn(xn | x1, x2, . . . , xn−1) = 0 иначе.
• Выражение для совместной плотности распределения pn (x1, x2,..., xn) рекордных ве-
личин Х (1), Х(2),...,Х(n):
pn(x1, x2, . . . , xn) =
p(x1) p(x2)/(F (x1 + C) − F (x1)) . . . p(xn)/(F (xn−1 + C) − F (xn−1) ),
если x1 < x2 <= x1 + C, x2 < x3 <= x2 + C, . . . xn−1 < xn <= xn−1 + C , и
pn(x1, x2, . . . , xn) = 0 иначе.
Также, если исходные случайные величины ограничены снизу некоторой константой
а > −∞, то
pn(x1, x2, . . . , xn) =
p(x1)/F(a + C) p(x2)/(F (x1 + C) − F (x1)) . . . p(xn)/(F (xn−1 + C) − F (xn−1) ),
если a < x1 <= a + C, x1 < x2 <= x1 + C, . . . xn−1 < xn <= xn−1 + C , и
pn(x1, x2, . . . , xn) = 0 иначе.
• Если исходные случайные величины имеют стандартное Е(1) экспоненциальное рас-
пределение, то полученные формулы переписываются в виде:
pn(x1, x2, . . . , xn) = e−xn / (1 − e−C )n,
если 0 < x1 <= C, x1 < x2 <= x1 +C, . . . xn−1 < xn <= xn−1 +C , и pn(x1, x2, . . . , xn) = 0
иначе.
• Одинаково распределенными являются случайные векторы
{X (1), X(2),...,X(n)}
и
{W1, W1 + W2, . . . , W1 + W2 + . . . + Wn},
где независимые случайные величины W1, W2, . . . , Wn, имеют плотность распределения
g(x) = e−x / (1 − e−C ),
если 0 <= x <= C , и g(x) = 0 инаяе.
Также была рассмотрена вторая модель рекордов с ограничениями: снова, зафиксируем
положительную константу С, но в этом случае значение, превышающее последний рекорд
Х (п) больше чем Ha С, не теряется, и новой рекордной величиной объявляется Х (п + 1) =
Х (п) + С. Если же наблюдение попало в интервал (Х (п), Х (п) + С], то оно и становится
новой рекордной величиной X(n+1).
Для нее, в случае экспоненциально распределенных исходных случайных величин, было
получено, что одинаково распределенными являются векторы
{X(1), X(2), . . . , X(n)}
и
{V1, V1 + V2, . . . , V1 + V2 + . . . + Vn},
где независимые случайные величины V1, V2, . . . , Vn, имеют функцию распределения
P{V (k) < x} =
1 − e−x , 0 <= x <= C
1 , x > C.
В этой работе мы получим аналогичные результаты для рекордных схем с ограничениями
в случае дискретных распределений.
1.3 Классические дискретные рекорды
Приведем несколько результатов для классических дискретных рекордов из [1], для того
чтобы далее провести аналогию с полученными результатами.
Теорема 1 Пусть Х1, Х2,... — независимые случайные величины, принимающие значе-
ния 1,2,... с вероятностями
pk = P{Xj = k} = (1 − p)pk−1, j = 1, 2, . . . , k = 1, 2, . . . .
Тогда случайные величины X (1), X(2)—X (1), Х(3)-Х(2),... независимы, и имеют, то же
геометрическое распределение, что и истодные случайные величины Х1, Х2, ....
Теорема 2 В условиях теоремы 1 для любого п = 1,2,... справедливо равенство
X(n) d= X1 + X2 + . . . + Xn.
Поскольку случайные величины Х1, Х2,... независимы, одинаково распределены и имеют
математические ожюидания а = 1/(1— р) и дисперсии σ² = р/(1 — р)², мы получаем что
(X(n) − na) / (σn1/2) = ((1 − p)X(n) − n) / ((np)1/2) -> n→∞ N(0, 1),
где N(0,1) — стандартное нормальное распределение.
1.4 Рекорды с д-превышением и случайные блуждания
В 1996 г. в работе [2] были введены так называемые рекорды с δ-превышением. В этой схе-
ме для объявления очередного наблюдения рекордным требовалось, чтобы оно превышало
предыдущее рекордное достижение более чем Ha некоторое значение δ. Для последователь-
ности независимых случайных величин Х1, X2,..., имеющих одинаковую функцию распре-
деления, рекордные моменты и рекордные величины определяются следующим образом:
L(n) = min{j > L(n − 1) : Xj > X(n − 1) + δ},
X(n) = XL(n) n = 2, 3, . . . .
Рекорды с δ—превышением возникают, например, в счетчиках частиц второго типа. Счет-
чик выставляют в радиусе действия источника, излучения частиц (например, радиоактив-
ный материал). Частицы попадают в счетчик, но в силу некоторых физических ограничений
конструкции прибора, не все частицы регистрируются. В счетчиках второго типа, после при-
бытия частицы (зарегистрированного или нет) новые частицы перестают регистрироваться
в период времени δ, причем новые частицы, прибывающие в этот период восстановления
счетчика, продливают его. Таким образом, только те частицы, которые не попали в период
восстановления, регистрируются.
В работе [4] показано, что количество зарегистрированных частиц до момента # является
количеством рекордов с δ—превышением для величин с некоторой функцией распределе-
ния. Рекорды с δ—превышением рассмотрены в [5] [6] в случаях δ > 0 δ < 0 и в [7] в
дискретном случае.
В работах [8] [9] [10] рассматриваются рекордные величины в случайных блужданиях. В
этой работе мы постараемся обобщить некоторые результаты для дискретных случайных
блужданий на случай рекордов с превышениями.
В заключении подведем итоги проделанной работы. Мы хотели исследовать рекордные
схемы с ограничениями в случае, когда исходные случайные величины имеют дискретное
распределение, и были получены следующие результаты:
• Доказана независимость исходных случайных величин Хр(и)-+1, Хр(п)--2, - -. И рекорд-
ных значений Х (1), Х(2),...,Х (п).
• Найдено совместное распределение рекордных значений Х(1), Х (2),...,Х (п).
• Доказано, что рекордная величина X(n) представима, в виде суммы п независимых
одинаково распределенных величин, что позволяет в будущем получить для Х (п) ряд
предельных теорем, справедливых для сумм независимых случайных величин.
• Рекордная схема с ограничениями была, рассмотрена как некоторое обобщение класси-
ческой рекордной схемы. Было замечено совпадение полученных в этой работе резуль-
татов с уже известным результатами для классической рекордной схемы, в частном
случае, в котором рекордная схема с ограничениями совпадает с классической рекордной схемой.
Были получены результаты для рекордных схем с ограничениями в случае дискретно рас-
пределенных исходных случайных величин, аналогичные результатам в статье [3], получен-
ными для рекордных схем с ограничениями в случае непрерывно распределенных исходных
случайных величин.
Также были рассмотрены рекорды с превышениями для одномерных дискретных случай-
ных блужданий, которые возвралцаются в исходное положение после п шагов. В случае
распределения скачков
были найдены производящие функции для математического ожидания количества рекордов
и величины наибольшего рекорда, и в случае C = 2 математическое ожидание количества,
рекордов до шага 7 было вычислено явно.
схемы с ограничениями в случае, когда исходные случайные величины имеют дискретное
распределение, и были получены следующие результаты:
• Доказана независимость исходных случайных величин Хр(и)-+1, Хр(п)--2, - -. И рекорд-
ных значений Х (1), Х(2),...,Х (п).
• Найдено совместное распределение рекордных значений Х(1), Х (2),...,Х (п).
• Доказано, что рекордная величина X(n) представима, в виде суммы п независимых
одинаково распределенных величин, что позволяет в будущем получить для Х (п) ряд
предельных теорем, справедливых для сумм независимых случайных величин.
• Рекордная схема с ограничениями была, рассмотрена как некоторое обобщение класси-
ческой рекордной схемы. Было замечено совпадение полученных в этой работе резуль-
татов с уже известным результатами для классической рекордной схемы, в частном
случае, в котором рекордная схема с ограничениями совпадает с классической рекордной схемой.
Были получены результаты для рекордных схем с ограничениями в случае дискретно рас-
пределенных исходных случайных величин, аналогичные результатам в статье [3], получен-
ными для рекордных схем с ограничениями в случае непрерывно распределенных исходных
случайных величин.
Также были рассмотрены рекорды с превышениями для одномерных дискретных случай-
ных блужданий, которые возвралцаются в исходное положение после п шагов. В случае
распределения скачков
были найдены производящие функции для математического ожидания количества рекордов
и величины наибольшего рекорда, и в случае C = 2 математическое ожидание количества,
рекордов до шага 7 было вычислено явно.
