Обобщенный алгоритм RSK, введенный в работе [12], осуществляет кодирование схемы Вернули при помощи последовательности пар таблиц Юнга одинаковой формы. При данном кодировании каждому элементу x = {xngn2N бесконечномерного единичного куба [0,1]N с мерой Бернулли ц специального вида сопоставляется две последовательности {Qn(х)}„е^, {Pn(x)gnejN - нумерующих и записывающих таблиц соответственно. Индуцируемые при этом кодировании меры на бесконечных таблицах Юнга, в последствии названные мерами Вершика-Керова, в точности совпадают со множеством всех эргодических центральных мер на графе Юнга (см. [12], [2], [18], [17]). В дальнейшем в работах [17] и [18] было показано, что проекция на последовательность {Qng является изоморфизмом пространств с мерой между ([0,1]N, ц) и пространством бесконечных стандартных таблиц Юнга с соответствующей мере ц мерой Вершика-Керова. В этой работе мы сосредоточимся на малоисследованном вопросе асимптотических свойств проекции на последовательность {Png поставленном в [3]. Мы рассматриваем случай, когда ц - равномерная мера Ле бега на [0,1].
Как было доказано А.М. Вершиком и С.В. Керовым [4], а также независимо Б. Логаном.
и Л. Шейпом [14], последовательность диаграмм формы {Pn g после естественной нормировики сходится к предельной форме. В дальнейшем Грибов А.Б. [5] доказал сформулированное А.М. Вершиком предложение, что предельная форма есть и у самих таблиц. А.М. Вершиком автору был поставлен вопрос о предельных флуктуациях содержимого клеток последовательности {Png.
Основным результатом данной работы является доказательство того, что нормированное распределение последнего элемента первой строки сходится к экспоненциальному распределению.
Теорема. Пусть ln(x) равно значению последнего элемента первой строки P-таблицы Pn(x) для реализации x = (x1,x2,...). Тогда для любого а > 0 верно, что
lim F(pn(1 — ln(x)) < а) = e~“
n! + 1
Уже после получения данного результата вышел близкий по тематике препринт (см. следствие
1.2 и 1.3 в [15]) Р. Sniady, в сооавторстве с L. Maslanka, М. Marciniak, что подчеркивает актуальность результата.
Для доказательства использован метод моментов. Для каждого момента найдено комбинаторное выражение, позволяющее свести вычисления к интегрированию некоторой предельной функции, используя подход, предложенный С.В. Керовым [11].
Идеи данной работы частично использовались в общей с Г. Овечкиным работе [1] о верхней оценке времени попадания координаты в первый столбец таблицы Юнга при RSK кодировании. В частности, с небольшими изменениями, в ней содержится параграф 3.1.
Примером применения основной теоремы данной работы является квалификационная работа Г. Овечкина [6]. Он в своей работе уточняет результат заметки [1]. Используя основную теоремы этой работы, Г. Овечкин получает нижнюю оценку времени попадания координаты в первый столбец таблицы Юнга при RSK кодировании асимптотически совпадающую с верхней.
Также отметим, что величина ln(x) играет особую роль в проблеме Улама. Данная величина является последним элементом наибольшей возрастающей подпоследовательности с наименьшим
последним элементом случайной последовательности xn сформированной первыми n координатами X.
