Введение 3
Постановка задачи 5
Обзор литературвх 5
Глава 1. Матрица Ляпунова. Приближённое ввхчисление и оценка
точности приближения 7
1.1. Система дифференциалвно-разностнвхх уравнений ... 7
1.2. Матрица Ляпунова как решение интегралвного уравнения 8
1.3. Устранение диагоналвнвхх разрвхвов ядра уравнения . . 12
1.4. Метод квадратур для построения приближённого реше¬
ния интегралвного уравнения 13
1.5. Оценка точности приближения методом Анселоне. ... 14
1.6. Реализация в системе Matlab 19
Глава 2. Применение матриц Ляпунова для исследования устой¬
чивости систем с запаздвхванием 21
2.1. Критерий устойчивости 21
2.2. Реализация в системе Matlab 23
Выводы 26
Заключение 27
Список литературы 28
Купить

В данной работе предложен метод приближённого вычисления матрицы Ляпунова для дифференциально-разностных систем с запаздывающим аргументом. С помощью систем уравнений данного вида описываются многие химические, физические и биологические процессы, происходящие в мире. Благодаря исследованию уравнений с запаздыванием, мы имеем возможности получать более точную информацию о процессах и предсказывать поведение объектов и систем в будущем. Необходимость использования запаздываний продиктована тем, что скорость изменения в системах зависит не только от состояния в настоящий момент времени, но и от происходившего в уже прошедший промежуток времени. При решении некоторых задач запаздыванием пренебрегают, и в ход идёт теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако нужно понимать, при неучитывании запаздываний можно получить результат, никоим образом не соответствующий реальности. Поэтому, при детальном изучении процессов, целесообразно использовать функции с запаздывающим аргументом.
Понятие матрицы Ляпунова играет важную роль в теории дифференциально-разностных уравнений, так как поиск решений уравнений данного типа - трудоёмкая задача, хотя бы потому, что собственных чисел в системе бесконечно много. Все их не найти, а значит, проверить, что они лежат в левой комплексной полуплоскости непросто. Поэтому для изучения свойств систем используется метод функционалов Ляпунова-Красовского полного типа и матрица Ляпунова, являющаяся их основным элементом. В настоящее время матрица Ляпунова применима к таким задачам, как исследование систем на устойчивость, вычисление H2нормы придаточной матрицы. А сами функционалы полного типа Ляпунова-Красовского используются для исследования робастной устойчивости, построения экспоненциальных оценок и стабилизирующих управлений, вычисления значений функционалов качества в задачах оптимального управления и для других задач.
Тем не менее, в настоящее время не существует общего метода построения матриц Ляпунова. В случае одного запаздывания и нескольких кратных запаздываний задача построения сводится к решению линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с линейными граничными условиями. Для некратных запаздываний применимы эвристические численные методы без оценки точности приближения. Также существуют методы с оценкой точности приближения для экспоненциально устойчивых систем.
Постановка задачи
Основная цель данной работы состоит в построении метода приближённого вычисления матрицы Ляпунова для дифференциально-разностных уравнений с некратными запаздываниями, а также в получении оценки точности приближения. Для этого задача построения матрицы Ляпунова сводится к решению уравнения Фредгольма II рода. Для решения поставленной задачи построения оценки приближения квадратурных формул применяется метод Анселоне.
Вторая задача касается применения матриц Ляпунова для исследования устойчивости линейных систем с запаздыванием. Для её решения применяется недавно полученная теорема, дающая необходимое и достаточное условие устойчивости систем с запаздыванием, выраженное в терминах матрицы Ляпунова. Основная задача состоит в написании программы с акцентом на уменьшении времени вычисления.
Обзор литературы
В последнее время появляется всё больше работ, посвящённых теории и приложениям дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, среди них работа [1] занимает особое место. В этой книге можно найти хороший обзор по теории систем с запаздываниями. Более новые результаты, касающиеся исследования устойчивости и связанных с нею характеристик для систем с запаздыванием можно найти в [10],[2],[11]. В книге Харитонова В.Л. [10] вводится понятие матрицы Ляпунова для систем с запаздываниями и описываются различные задачи, решаемые с помощью этой матрицы. В частности, матрица Ляпунова позволяет построить функционал Ляпунова-Красовского полного типа, а с помощью функционала исследовать робастную устойчивость, строить экспоненциальные оценки решений, вычислять значения интегральных критериев качества. В статье [2] приводится необходимое и достаточное условие устойчивости линейных систем с запаздываниями, выраженное в терминах матрицы Ляпунова.
На сегодняшний день существует несколько методов построения матрицы Ляпунова. В случае кратных запаздываний задача построения матрицы Ляпунова может быть сведена к решению линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с линейными граничными условиями [5], [10]. Этот метод называется полуаналитическим.
Для общего случая существует ряд эвристических методов [6], [8], [9], [4] то есть численных методов без оценки точности приближения. Такие методы основаны на поиске решения в виде полиномиальной или кусочно-полиномиальной функции, коэффициенты которой находятся из условия минимизации невязки, которая характеризует точность выполнения свойств из определения матрицы Ляпунова.
Кроме того, недавно был представлен метод [3], позволяющий построить приближение матрицы Ляпунова с оценкой точности приближения. Но стоит отметить, что этот метод работает только при условии, что система экспоненциально устойчива. Следовательно, он не применим в случае, когда с помощью матрицы Ляпунова мы пытаемся исследовать устойчивость.
В выпускной квалификационной работе [16] было показано как задача построения матрицы Ляпунова может быть сведена к интегральному уравнению Фредгольма II рода. Полученное уравнение решалось численно методом квадратур. Стоит отметить, что попыток оценить точность приближения не предпринималось.

Купить