Во многих инженерных и физических приложениях исследуется устойчивость линейных систем. Для ее анализа в ряде работ [1, 2] был введен в рассмотрение радиус устойчивости. Данное понятие нашло свое применение во многих приложениях, таких как электродинамика, теория управления, робототехника, ядерная энергетика [8, 13, 18], в частности, оно применялось для сравнения динамики нейромеханических систем [11], при анализе уязвимости комплексных систем [12], для выбора оптимальных параметров течения в системе управления температурой теплоносителя быстрого свинцового реактора [13].
Рассмотрим необходимые сведения. Пусть C = Cg LI Cb— разбиение комплексной плоскости на «хорошую» и «плохую» области, где Cgоткрыто, а Cbзамкнуто. В наиболее общем случае радиус устойчивости представляет собой следующую функцию [1]:
rF: Mn(F) х Mn!i(F) x Mq,n(F) x P(C) -! R,
(A; B, C, C b) ! inf{ЦДЦ21 A 2 M ,(F), A(A + BAC) Cb = 0}.
При F = C будем называть радиус устойчивости комплексным, а при F = R — вещественным.
В связи с важной прикладной ролью, особое внимание в работе уделено следующим частным случаям:
r-F(A,B,C) := rF(A,B,C, C C_), r-F(A) := rF(A,E,E),
rF(A,B,C) := r-F(A;B,C, C Ci), rF(A) := rF(A,E,E).
В статьях [1, 2, 3, 4, 5] были приведены численные методы вычисления радиуса устойчивости. Среди их недостатков можно выделить необходимость выбора начального приближения, сходимость к разным значениям для разных методов с одним и тем же начальным приближением, невозможность проверить точность и погрешность полученного значения. Более подробно эти моменты были описаны в [22]. В данной работе используется алгебраический подход, основанный на понятии дискриминанта. В результате работы алгоритма за конечное число элементарных алгебраических операций вычисляется полином, корнем которого является искомое значение радиуса устойчивости.
В первой главе исследуется устойчивость матриц в пространстве параметров. Данная задача позволяет определить множество значений параметров, при котором радиус устойчивости исходной матрицы будет равен нулю. Также в этой главе для анализа устойчивости предложены аналитические алгоритмы вычисления спектральной абсциссы и спектрального радиуса без непосредственного нахождения спектра исходной матрицы.
Во второй главе рассмотрен комплексный радиус устойчивости по Гурвицу и Шуру. Доказан ряд утверждений, позволяющих упростить вычисления. В качестве примера вычислено значение r^для матрицы, полиномиально зависящей от одного параметра.
Третья глава посвящена вещественному радиусу устойчивости. Альтернативным образом вычислен пример из статьи [5]. Также рассмотрено вычисление r~ для матрицы, зависящей от одного параметра. В заключение главы приводятся особые случаи, при которых вычисление вещественного радиуса устойчивости существенно упрощается.
В приложении приведен код алгоритмов в системе Wolfram Mathematica.
Основные результаты данной работы были опубликованы в статьях [21, 22, 23].
