Введение 3
Постановка задачи 4
Обзор литературы 6
Глава 1. Алгоритм аналитического решения плоских изотропных задач
теории упругости методом суперпозиции 8
1.1 Метод начальных функций 8
1.2 Метод суперпозиции 15
Глава 2. Реализация метода суперпозиции на примере расчета тонких
изотропных прямоугольных пластин 17
2.1 Исследование значений переменной Digits 17
2.2 Метод коллокаций 19
2.3 Метод наименьших квадратов 27
Выводы 37
Заключение 39
Список литературы 40
Требования, предъявляемые к повышению надежности на стадии проектирования облегченных строительных конструкций, объектов авиации и машиностроения, делают актуальной задачу совершенствования методов расчета прочности и жесткости несущих конструкций при наименьших затратах материалов.
В настоящее время в расчетной и исследовательской практике при решении задач теории упругости широко применяются методы численного моделирования (метод конечных элементов, конечно-элементный анализ с использованием ANSYS и другие). Этот подход подтвердил свою эффективность, но у него имеется ряд недостатков, например, неточное удовлетворение граничным условиям на гранях рассчитываемых тел, несоответствующее экспериментам распределение касательных напряжений в заделанных гранях и др. Поэтому построение аналитических, даже и приближенных, решений теории упругости при соблюдении граничных условий является актуальной задачей.
Особое значение придается аналитическим методам, ориентированным на применение вычислительной техники. В данной работе используется система аналитических вычислений Maple.
Целью работы является исследование аналитического метода расчета - метода суперпозиции на основе двух решений метода начальных функций для изотропного прямоугольника с различными граничными условиями (с двумя защемленными вертикальными сторонами и одной защемленной вертикальной стороной) при удовлетворении граничных условий разными методами: метод коллокации и метод наименьших квадратов.
Практическая значимость работы заключается в возможности использования реализованного в Maple алгоритма аналитического решения плоских изотропных задач в практике проектно-конструкторских организаций.
Постановка задачи
Постановка задачи
Рассматривается задача деформирования изотропного упругого прямоугольника, находящегося в условиях плоской деформации.
Требуется исследовать поведение на границе решения метода суперпозиции с использованием двух решений, полученных методом начальных функций [19, 20] для изотропного прямоугольника в зависимости от способа удовлетворения граничным условиям.
В работе [19] граничные условия удовлетворялись с помощью разложения их в ряды Фурье, а получение разрешающей СЛАУ выполнялось приравниванием коэффициентов при одинаковых гармониках в рядах граничных условий и рядах решения, вычисленных на соответствующих сторонах прямоугольника.
В данной ВКР были выбраны два метода: метод коллокации [25] и метод наименьших квадратов [22, 25], при применении которых нет необходимости в разложении в ряды Фурье граничных условий и самого решения на границе.
Точное решение в аналитической форме уравнений теории упругости при соблюдении граничных условий (краевая задача) возможно лишь в некоторых частных случаях нагружения тел и условий их закрепления. Для инженерной практики имеют важное значение приближенные, но достаточно общие методы решения задач прикладной теории упругости.
Существуют автоматизированные информационные системы и комплексы программ, позволяющие рассчитывать достаточно сложные конструкции с применением приближенно-аналитических методов решения.
В данной работе в системе аналитических вычислений Maple представлена программная реализация алгоритма аналитического решения плоской изотропной задачи теории упругости методом суперпозиции на примере расчета тонких изотропных прямоугольных пластин и исследовано поведение на границе решения для изотропного прямоугольника в зависимости от способа удовлетворения граничным условиям.
