Введение 2
Обзор литературы 4
Объект исследования 4
Механические свойства крови 6
Математическая модели кровотока 9
Выводы 13
Математическая модель течения крови в вязкопластичном приближении 14
Математическая модель 14
Разностная схема 20
Результаты 22
Вычислительный эксперимент 23
Одиночный сосуд 23
Сосуд с бифуркацией 27
Сонная артерия 30
Модель артериальной части сердечно-сосудистой системы33
Результаты 38
Заключение 39
Список литературы 40
Согласно статистике, сердечно-сосудистые заболевания па сегодняшний день являются одной из основных причин инвалидности и смертности во всем мире [1]. По данным Всемирной организации здравоохранения в 2016 году от сердечно-сосудистых заболеваний умерло 17,9 миллиона человек, что составило 31% всех случаев смерти в мире. Большая часть — 85% этих смертей произошло в результате инфаркта миокарда и инсульта. В частности, по России па 2018 год 18% всех болезней — это болезни системы кровообращения [2].
Одну из лидирующих позиций среди всех заболеваний сердечно-сосудистой системы занимает атеросклероз. В результате болезни часто поражаются сразу несколько артерий, поэтому влияние и развитие патологического процесса необходимо рассматривать в сети сосудов. Современные методы исследования в области хирургии позволяют эффективно лечить подобные заболевания. Например, установкой стентов пораженных коронарных сосудов сердца, заменой клапана сердца. Требуют хирургического вмешательства и другие патологии, например, аневризмы и стенозы.
Таким образом, важной проблемой современной медицины является создание эффективных методов лечения и профилактики сердечно-сосудистых заболеваний. Огромную роль в их разработке играет математическое моделирование. Методы которого, без предварительного вмешательства в организм, позволяют прогнозировать последствия хирургических операций и патологий, оптимизировать форму имплантатов, исследовать их влияния па гемодинамику.
В данной работе рассмотрено построение одномерной математической модели течения крови как вязкопластичной жидкости. Рассмотрен используемый математический аппарат. Описан численный метод решения полученной системы одномерных уравнений. Описаны и решены тестовые задачи, результаты сравниваются с данными статей.
В первой главе приводится обзор литературах, в котором рассказывается про сердечно-сосудистую систему человека, состав и структуру крови и анатомию сосудов. Описываются физические и механические свойства крови. Показан один из наиболее известных подходов к моделированию течения крови в сосудах. Представлена математическая модель течения крови в общем виде, с учетом предполагаемых допущений. Во второй главе вводится реологическая модель для моделирования поведения крови, с учетом которой выводится часть уравнений, отвечающая за вязкие свойства крови, профиль скорости и коэффициент Буссинеска. Далее представлена одномерная математическая модель, учитывающая вязкие и неньютоновские свойства крови. Затем проводится анализ полученной модели и описывается разностная схема Лакса — Вендроффа. В третьей главе описаны тестовые нелинейные задачи, такие как течение крови в одиночном сосуде и сосуде с бифуркацией. Рассматриваются задачи о моделировании течений в реальных сосудах: в сонной артерии и в модели артериальной части сердечно-сосудистой системы. Описаны необходимые для решения начальные и граничные условия. Представлены полученные графики решения и выводы. В заключении приведены результаты и выводы работы.
В результате магистерской диссертации рассмотрена предложенная одномерная модель кровотока, учитывающая неньютоновские свойства крови, на основе которой написана программа, позволяющая моделировать течение крови в системе сосудов.
Следовательно, получены следующие результаты:
1. Предложена одномерная математическая модель течения крови с учетом неньютоновских эффектов.
2. Написана программа, реализующая расчеты по предложенной модели с помощью схемы Лакса — Вендроффа.
3. Решены и проанализированы тестовые задачи, предложенные в литературе.
4. Проведено моделирование течения крови на участках крупных сосудов.
По полученным результатам можно сделать соответствующие выводы:
1. Одномерное моделирование способно достаточно точно предсказать поведение крови. И разработанная программа позволяет получать корректные результаты.
2. Применение квазиодномерного приближения позволяет ставить и численно решать гемодинамические задачи на достаточно разветвленной сети сосудов системы кровообращения.
3. Неньютоновские эффекты при определенных условиях оказывают влияние на получившиеся результаты.
