Введение 3
1 Постановка задачи 5
1.1 Вероятностная коалиционная структура и характеристическая
функция 5
1.2 Вычисление ES—значения и вектора Аумана-Дрезе 6
1.3 Устойчивые коалиционые структуры 6
1.4 Игра с главным игроком 7
1.5 Постановка задачи 8
Обзор литературы 9
2 Основные результаты 11
2.1 Вычисление вероятностной характеристической функции 11
2.2 Вычисление ES—значения и вектора Аумана-Дрезе для вероятностных коалиционных структур 12
2.3 Устойчивые коалиционные структуры в игре трех игроков .... 18
2.4 Устойчивые коалиционные структуры при равномерном распределении 28
2.5 Устойчивые коалиционные структуры при распределении 1 и 1 .36
3 Заключение 42
Список литературы 44
4 Приложение 45
4.1 Условия устойчивости при равномерном распределении и кооперативном решении ES—значения 45
4.2 Условия устойчивости при 1/3 и 1/9 вероятностях и кооперативном решении ES—значения 47
4.3 Условия устойчивости при равномерном распределении и кооперативном решении вектора Аумана-Дрезе 52
4.4 Условия устойчивости при распределении 1/3 и 1/9 и кооперативном решении вектора Аумана-Дрезе 58
В теории игр особое место занимает исследование коалиционных структур. Их изучение привлекает все больший интерес. Это связано прежде всего с тем, что коалиционные структуры являются неотъемлемой частью любого общества.
В современном мире, подверженном процессам глобализации, неуклонно растет число различных объединений. Любое объединение нескольких объектов (в роли объектов могут быть компании, сообщества, страны и др.), имеющее своей целью получение какой-либо выгоды, представляет собой коалицию. Примерами коалиций могут быть объединения политических партий, различные альянсы государств и организаций.
Поскольку каждый объект (далее игрок), вступая в ту или иную коалицию, преследует в ней свои интересы, то, естественно, возникает желание рассчитать вероятность их осуществления. В дальнейшем будем называть реализацию интересов как отдельного игрока, так и коалиции в целом, выигрышем. Очевидно, что выигрыш одного и того же игрока при участии в разных коалициях отличается.
Если у игроков имеется возможность переходить из одной коалиции в другую, меняя тем самым состав самих коалиций, то, зафиксировав игроков в конкретных коалициях, говорят о наличии определенной коалиционной структуры или коалиционном разбиении.
Несомненный интерес представляет поиск такой коалицинной структуры, в которой выигрыш будет оптимальным, что означает, что все игроки получат максимальный выигрыш, образуя именно эту коалиционную структуру, а не какую-либо другую. В этом случае коалиционное разбиение называется устойчивым.
Построение математических моделей позволяет изучать и сравнивать различные коалиционные структуры. В большинстве имеющихся к настоящему времени исследований исходят из того, что в кооперативной игре возможно только одно коалиционное разбиение, которое сформировано изначально. В реальных ситуациях оказывается возможным образование не одной, а нескольких коалиционных структур. Именно это обстоятельство было положено в основу представляемой работы.
Поскольку, как было отмечено выше, каждый игрок, преследуя свой интерес, может менять коалицию, то невозможно, как правило, заранее точно утверждать, какое конкретно коалиционное разбиение возникнет. Учитывая этот факт, в настоящей работе рассматривались коалиционные структуры, которые были заданы с некоторой вероятностью их возникновения. Целью работы являлось нахождение устойчивого коалиционного разбиения в игре с главным игроком.
В результате исследования условий устойчивости коалиционных разбиений в игре трех лиц с первым главным игроком были получены следующие результаты.
Найдены соотношения между вероятностными характеристическими функциями для различных коалиционных структур, которые определяют их устойчивость при равномерном вероятностном распределении как относительно вектора ES—значения, так и относительно вектора Аумана-Дрезе.
Получены соотношения между вероятностными характеристическими функциями для различных коалиционных структур, которые определяют их устойчивость при вероятностном распределении 1 и 9 и кооперативном решении как с вектором ES—значения, так и с вектором Аумана-Дрезе.
Установлено, что если при равномерном распределении вероятности возникновения коалиционных структур и кооперативном решении с вектором ES—значения существует только одна устойчивая коалиционная структура P4= {1}, {2,3g, то при кооперативном решении с вектором Аумана-Дрезе устойчивыми являются две коалиционные структуры: P1= {1,2,3} и P4 = {1}, {2, 3}.
Продемонстрировано, что при вероятностном распределении возникновения коалиционных структур 3 и 9, и кооперативном решении как с вектором ES—значения, так и с вектором Аумана-Дрезе существует единственная устойчивая коалиционная структура P1 = {1,2,3} с соответствующими для каждого вектора условиями на параметры.
На основании полученных в настоящей работе результатов можно высказать ряд интересных предположений.
При равномерном вероятностном распределении коалиционных структур для главного игрока выгоднее либо состоять в объединенной коалиционной структуре P1 = {1, 2,3}, либо играть в одиночку, при условии объединения двух оставшихся игроков (P4). Присоединение главного игрока к любому другому игроку (P2, P3)или игра в коалиционной структуре, где каждый играет сам за себя (P5), являются для него невыгодными вариантами.
При вероятностном распределении образования к.с. | и 9 выигрышной для главного игрока является исключительно объединенная к.с. Pi, т.е. несмотря на одинаковую достаточно большую вероятность образования двух коалиционных структур (P1и P5), одно коалиционное разбиение оказывается более выгодным, чем другое.
Сравнение ограничений для параметров характеристической функции устойчивых коалиционных структур, с их вероятностным распределением 3 и 9 при использовании кооперативного решения ES—значения и вектора Аумана-Дрезе, позволяет высказать предположение, что если коалиционная структура является устойчивой относительно ES—значения, то она будет устойчивой и относительно вектора Аумана-Дрезе.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
