Комплекснозначная функция f , заданная на положительной полуоси R+ = [0,+∞),
называется локально интегрируемой, если
xZ0
|f (s)|ds < ∞
для любого числа x ∈ R+. Обозначим множество локально интегрируемых функций через Lloc 1 (R+). Системой Крейна с коэффициентом A∈ Lloc 1 (R+) называется система дифференциальных уравнений
¤P P∗′((xx,,λλ) = ) = −iλAP((xx),Pλ()x−,λA)(, x)P∗(x,λ), P P∗((0, 0,λλ) = ) =1, 1, (1)
где λ ∈ C – спектральный параметр, а x ∈ R+ – переменная, по которой производится дифференцирование. Для любой системы Крейна существует [4] неотрицательная борелевская мера σ такая, что
ZR
dσ(λ)
1 + λ2
< ∞, (2)
и для любой функции f ∈ L2(R+) выполнено
||f ||2 2 =
∞Z
−∞
|Fp(λ)|2 dσ(λ), Fp(λ) =
∞Z0
f (x)P(x,λ)dx.
В частности, отображение Up : f → Fp из L2(R+) в L2(σ,R) оказывается унитарным.
Мера σ единственна, она называется спектральной мерой системы (1).
Класс Сегё на вещественной прямой R состоит из неотрицательных борелевских мер σ, удовлетворяющих условию (2) и имеющих конечную энтропию
∞Z
−∞
logσ′(λ)
1 + λ2
dλ > −∞, (3)
где σ′ обозначает производную Радона-Никодима меры σ относительно меры Лебега на вещественной прямой R. Отметим, что интеграл в формуле (3) может
расходиться только к −∞, так как logλ ≤ λ для любого λ ∈ R+. В частности,
условие Сегё (3) для мер, удовлетворяющих оценке (2), равносильно включению
logσ′/(1 + λ2) ∈ L1(R).
Следующий результат был получен М. Г. Крейном в 1955 г. в статье [5], его современное доказательство можно найти в монографии С. А. Денисова [6].
2
