Введение 4
Постановка задачи 5
Обзор литературы 6
Глава 1. Скалярное уравнение 7
1.1. Постановка задачи 7
1.2. Анализ корней квазиполинома 7
1.3. Область «-устойчивости 9
1.4. Критерии максимума 11
1.5. Частный случай: прямоугольник 12
1.6. Примеры 13
1.6.1 Случай отрезка 13
1.6.2 Случай прямоугольника 14
1.6.3 Случай круга 14
Глава 2. Линейная система уравнений 16
2.1. Анализ характеристической функции 16
2.2. Кривая кратного корня 19
2.3. Связь кривой кратного корня с запасом устойчивости . . 25
Выводы 27
Заключение 28
Список литературы 29
В предложенной работе рассматривается дифференциально-разностное линейное уравнение первого порядка запаздывающего типа. Такого рода уравнения широко применяются в химии, физике, биологии и других областях знания. Предполагается, что коэффициенты уравнения и величина запаздывания принадлежат некоторому компакту.
Характеристическая функция рассматриваемого уравнения представляет собой квазиполином. Квазиполиномы, все корни которых лежат в левой открытой комплексной полуплоскости, называются квазиполиномами Гурвица. Рассматриваются ограничения на коэффициенты уравнения, при выполнении которых уравнение является экспоненциально устойчивым, то есть его характеристический квазиполином гурвицев. Определяется его запас устойчивости как максимальная вещественная часть корней характеристического уравнения, взятая с обратным знаком.
Для скалярного случая установлена непосредственная связь максимального запаса устойчивости и существования корня максимальной кратности характеристического квазиполинома. Эта связь мотивирует на изучение линейной системы из нескольких дифференциально-разностных уравнений. Характеристическая функция системы представляет собой квазиполином степени, равной размерности системы.
Постановка задачи
В пространстве параметров (коэффициенты и величина запаздывания) линейной системы дифференциально-разностных уравнений задан компакт. Требуется построить метод, позволяющий найти точку из этого компакта, соответствующую максимальному запасу устойчивости. Эта задача сводится к максимизации расстояния корней характеристического квазиполинома от мнимой оси.
Для скалярного уравнения сформулированы критерии максимума для коэффициентов уравнения и величины запаздывания. Разработан метод максимизации запаса устойчивости для случая, когда множество параметров ограничено некоторым заданным компактом. В случае, когда компакт является прямоугольником, решение задачи требует минимум вычислений.
В скалярном случае установлена связь максимального запаса устойчивости и существования корня максимальной кратности характеристического квазиполинома. В случаем системы найдена максимально возможная кратность корня характеристического квазиполинома. Доказано существование коэффициентов, при которых есть корень максимальной кратности.
