Введение 3
Постановка задачи 4
Обзор литературы 5
Глава 1. Задача динамической оптимизации 7
1.1. Интерполяция с помощью полиномов Лагранжа 8
1.2. Алгебраическое представление операции дифференцирования 10
1.3. Алгебраическое представление дифференциального уравнения 12
1.4. Исследование сходимости метода ортогональных коллокаций для оценки производных функции 13
1.5. Применение метода ортогональных коллокаций для решения задач динамической оптимизации 15
Глава 2. Задача идентификации 18
2.1. Постановка задачи 18
2.2. Исследуемая эпидемическая модель 19
2.3. Программная реализация 20
2.3.1 Описание функции fmincon 20
2.3.2 Входные данные для fmincon 21
2.4. Результаты численных экспериментов 23
2.4.1 Результаты численных экспериментов для системы SIR 23
2.4.2 Результаты численных экспериментов для систем SIS 28
2.5. Анализ результатов 29
Заключение 31
Список литературы
В современном мире развитие методов и технологий компьютерного моделирования усиливает интерес к изучению сложных систем, в частности систем, моделирующих эпидемиологические процессы.
Использование корректных моделей распространения инфекционных заболеваний позволяет прогнозировать эпидемиологическую ситуацию, анализировать масштабы распространения заболеваний, а также решать ряд задач, направленных на управление исследуемым процессом.
Модели могут быть различной сложности. В общем случае, популяция разбивается на несколько групп, различающихся по своим свойствам (восприимчивые, заразные, обладающие иммунитетом и т. д.), а затем задаются правила перехода из одной группы в другую. Динамика таких моделей обычно описывается системами дифференциальных или интегродифференциальных уравнений.
После записи системы уравнений, описывающей рассматриваемый эпидемиологический процесс, возникает вопрос определения параметров модели. Параметры являются характеристиками эпидемиологического процесса, например, вероятность заражения, скорость выздоровления и прогрессирования заболевания.
Но каким же способом искать значения параметров? Как правило, мы имеем данные о заболеваемости и смертности, связанных с исследуемым заболеванием. Эти данные позволяют получить оценки параметров, характеризующих процессы, происходящие в части популяции, которая находится под контролем медицинских служб, например, скорость выздоровления больных, получающих лечение, и смертность среди выявленных больных. Но, к сожалению, этих данных недостаточно для оценки параметров, характеризующих процесс инфицирования. Значения недостающих параметров можно выяснить из требования того, чтобы решение модели как можно точнее описывало динамику заболеваемости и смертности. Для решения этой задачи может быть использована процедура идентификации параметров, основанная на использовании методов динамической оптимизации, которая описана в данной работе.
Постановка задачи
Целью дипломной работы является разработка программного комплекса для численной идентификации эпидемиологических моделей на основе данных наблюдений.
Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:
1. Сформулирована задача идентификации эпидемиологических моделей на основе данных о заболеваемости.
2. Изучена и программно реализован численный метод динамической оптимизации на основе метода ортогональных коллокаций.
3. Численно исследована задача параметрической идентификации для конкретного класса эпидемиологических моделей.
4. Проанализированы полученные результаты.
Основной задачей представленной выпускной квалификационной работы было разработать программный комплекс, направленный на численную идентификацию параметров эпидемиологических моделей на основе данных наблюдений. В наше время вопрос идентификации систем дифференциальных уравнений, моделирующих распространение инфекционных заболеваний, является крайне актуальным. Решение этой задачи, представленное в данной ВКР, состояло из нескольких частей.
Во-первых, была сформулирована задача динамической оптимизации, а затем с помощью псевдоспектрального метода ортогональных коллокаций, в рамках которого численная аппроксимация решения дифференциальноо уравнения была получена как решение системы алгебраических уравнений, сведена к задаче нелинейного программирования.
Во-вторых, на основе первого пункта, была проведена постановка задачи параметрической идентификации эпидемиологических моделей на основе данных о заболеваемости.
Поставленная задача была переформулирована таким образом, чтобы ее решение можно было получить, используя функцию fmincon среды Matlab.
Были получены и проанализированы результаты для разных эпидемиологических моделей на основе тестовых данных.
