Помощь студентам в учебе
УЧЕТ НЕЛИНЕЙНЫХ СЛАГАЕМЫХ В МЕТОДЕ МАЛОГО ПАРАМЕТРА ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ О ДВУХКОМПОНЕНТНОМ МАТЕРИАЛЕ С ИСКРИВЛЕННОЙ МЕЖФАЗНОЙ ГРАНИЦЕЙ
|
Введение 3
Глава 1. Постановка задачи 9
Глава 2. Метод возмущений 11
Глава 3. Численные результаты 17
Глава 4. Метод конечных элементов 19
Заключение 23
Список литературы 24
Глава 1. Постановка задачи 9
Глава 2. Метод возмущений 11
Глава 3. Численные результаты 17
Глава 4. Метод конечных элементов 19
Заключение 23
Список литературы 24
Тонкопленочные покрытия получили широкое применение в современной микроэлектронике и оптике. Такого рода материалы используются при производстве полупроводниковых лазеров, тонкопленочных транзисторов, жидкокристаллических дисплеев, волоконно-оптических датчиков и микроэлектромеханических систем [1]. Комбинируя материалы и структурные элементы на наноскопическом уровне, можно создавать приборы с уникальными оптическими, электрическими и магнитными свойствами. Пленочные покрытия могут служить в качестве защиты от термических, химических, радиационных и механических воздействий [2]. Но несмотря на значительный успех использования тонких пленок на практике, существует ряд проблем, связанных, в первую очередь, с их производством. Так, при создании и последующей термической либо химической обработке на свободных и межфазных поверхностях пленки могут образовываться наноразмерные канавки и трещинообразные впадины [3, 4, 5]. Изменение формы пленки приводит к ее микроструктурным изменениям и дальнейшему отслоению либо растрескиванию. Таким образом, появление топологических дефектов на внешних и внутренних поверхностях пленок непременно приводит к ухудшению их свойств и снижению срока службы приборов, созданных на их основе. С другой стороны, процесс образования топологических особенностей может быть использован для создания наноструктур с уникальными физико-механическими свойствами таких, как нанотрубки, квантовые нити и точки [6, 7, 8, 9]. В связи с этим возникает необходимость исследования процесса образования наноразмерных структур на межфазной поверхности композитных материалов и изучения влияния этих структур на физико-механическое поведение всего твердого тела.
Стоит отметить, что в настоящее время в научной мировой практике накоплен богатый материал по изучению механических свойств тонкопленочных покрытий. Были предложены методы по оценке эффективных свойств, устойчивости, разрушения и накопления повреждений. Исследованы особенности деформации и прочности элементов, созданных на основе однослойных и многослойных пленок. Принципиальные результаты при разработке соответствующих математических моделей связаны с именами таких ученых, как Р.Р. Балохонов, Р.В. Гольдштейн, М.А. Греков, М.Ю. Гуткин, Н.Ф. Морозов, И.А. Овидько, А.В. Панин, В.Е. Панин, А.Е. Романов, Ю.З. Повстенко, Я.С. Подстригач, П.Е. Товстик, А.Б. Фрейдин, R.C. Cammarata, A.G. Evans, L.B. Freund, X. Feng, H. Gao, Y. Huang, J.W. Hutchinson, F. Jonsdottir, W.D. Nix, A.J. Rosakis, B.J. Spencer, D.J. Srolovitz, G.G. Stoney S. Suresh, J.J Vlassak и многих других [10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 3, 5, 7].
В последние несколько десятилетий данное направление получило существенное развитие в связи с необходимостью создания моделей для прогноза свойств наноразмерных пленочных покрытий. Хорошо известно, что механические свойства материалов с наноструктурой не поддаются прогнозированию с помощью классических моделей, так как в эти модели не заложены параметры, связанные с влиянием поверхностной энергии. Однако, с уменьшением размеров деформируемых тел до нанометрового диапазона доля приповерхностных атомов увеличивается, и они начинают оказывать заметное влияние на упругое поведение всего тела. Этот эффект был подтвержден многочисленными экспериментальными работами А.Д. Коротаева, В.Ю. Мошкова, С.В. Овчинникова, Ю.П. Пинжина, В.М. Савостикова, А.Н. Тюменцева, S.E. Bobbin, M. Brink, R.C. Cammarata, J. Cao, M.J. Casavant, D.T. Colbert, S. Cuenot, H. Dai, S. Demoustier- Champagne, H.L. Duan, L.M. Erickson, A. Fartash, C. Fretigny, E.E. Fullerton, M. Grimsditch, M. Hernandez-Velez, G.Y. Jing, M. Knobel, S. Kumar, Y.D. Li, J. Liu, P.L. McEuen, E.D. Minot, D. Navas, B. Nysten, J.Y. Park, K.R. Pirota, V. Sazonova, I.K. Schuller, R.E. Smalley, A. Smith, E.L. Silva, X.M. Sun, M. Vazquez, J.W. Wagner, D.A. Walters, J.X. Wang, Q. Wang, J. Xu, K.Y. Yaish, D.P. Yu, D. Zanchet, Z.S. Zhang и др. [18, 19, 20, 21, 16].
Расчеты на основе метода молекулярной динамики, проведенные в исследованиях И.Ф. Головнева, Е.И. Головневой, А.М. Игошкин, Л.А. Мержиевского, В.Ф. Фомина, M.J. Buehler, A. Hartmaier, H. Gao, H. Gleiter, R.E. Miller, A.K. Mukherjee, S.R. Phillpot, V.B. Shenoy, D. Wolf, V. Yamakov, H. Yao и др. [22, 23, 24, 25, 26], позволили развить подход, в рамках которого деформируемое твердое тело рассматривается в качестве многоуровневой системы, где поверхностные слои являются отдельными подсистемами, обладающими физическими и механическими свойствами отличными от основного материала объемной части. Решению соответствующих краевых задач теории упругости, сформулированных на основе вышеописанного подхода, посвящены работы таких ученых, как П.А. Белов, Р.В. Гольдштейн, В.А. Городцов, М.А. Греков, М.Ю. Гуткин, В.А. Еремеев, А. Землянновой, Л.П. Лебедев, С.А. Лурье, Л. Назаренко, Н.Ф. Морозов, А.В. Панин, В.Е. Панин, Ю.З. Повстенко, Я.С. Подстригая, Ю.О. Соляев, К.Б. Устинов, H. Altenbach, M.E. Gurtin, A.I. Murdoch, H.L. Duan, J. Wang, Z.P. Huang, B.P. Karihaloo, L. Tian, R.K.N.D. Rajapakse, P. Sharma, S. Ganti, H.K. Stolarski, S.L. Crouch, P. Schiavone, C.-Q. Ru, Y. Benveniste, T. Miloh, D.J. Steigmann, R.W. Ogden и многих других [27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 7, 11]. При этом для описания для описания поверхностной либо межфазной упругости используются различные определяющие соотношения, дополняющий обычный закон Гука для объемной фазы.
Одной из самых распространенных на данный момент моделей, позволяющих описывать деформацию поверхностных и межфазных слоев, а следовательно и учитывать влияние поверхностной/межфазной энергии, является модель поверхностной упругости Гертина-Мердока [31, 32]. Приповерхностный слой в рамках представленной модели представляется в виде упругой мембраны, которая когерентно связана с основным материалом. Таким образом, полные смещения поверхности совпадают с полными смещениями прилегающей объемной части. При этом полные поверхностные деформации связываются с полными смещениями по обычным формулам, используемым в классической теории упругости. Для связи компонент тензора поверхностных напряжений с компонентами тензора поверхностных деформаций вводятся определяющие соотношения аналогичные тем, что используются в законе Гука, однако, поверхностные упругие константы и напряжения имеют размерность Н/м. Также в определяющих соотношениях учитываются остаточные напряжения, которые возникают при формировании поверхности. Стоит отметить, что в некоторых работах члены определяющих соотношений, соответствующие остаточным напряжениям, отбрасываются в предположении их малости [33, 34, 35]. В представленной работе они также не учитываются. В качестве уравнений, описывающих механическое равновесие поверхности, используются уравнения обобщенного закона Лапласа-Юнга, которые определяют скачок напряжений при переходе от объемной к поверхностной фазе, обусловленный действием поверхностных напряжений. В целом, подобный подход показал свою эффективность при решении широкого круга задач, связанных с моделированием и прогнозированием механических свойств материалов с наноструктурой в виде нановключений, нанопор, нанопроволок, нанотрубок, нановолокон, нанопленок и т.п. [36, 37, 38, 11].
Заметим, что большинство вышеупомянутых исследований были ограничены идеальной формой рассматриваемых свободных и межфазных поверхностей. Однако, как уже было отмечено, стоит принять во внимание тот факт, что при определенных условиях поверхностные атомные слои являются термодинамически неустойчивыми к зарождению и росту топологических дефектов. Это, в первую очередь, связано с изменениями на атомном уровне в результате механического, радиационного, термического или химического воздействия при производстве, обработке и эксплуатации наноматериалов [39, 40, 41]. Таким образом, одним из важнейших направлений в рамках указанной проблемы является разработка теоретических подходов, позволяющих исследовать влияние размеров и формы таких дефектов на механическое поведение наноматериала. Представленная работа является дальнейшим продолжением исследований [42, 43, 44, 45, 12, 13], связанных с разработкой теоретических моделей для изучения напряженного состояния вблизи искривленных внутренних и внешних границ твердых тел и тонкопленочных покрытий. Здесь, с использованием определяющих соотношений Гертина-Мердока и подхода к решению соответствующей краевой задачи, предложенного в работе [43] на основе комплексных потенциалов и метода малого параметра, проанализировано поведение окружных напряжений вдоль межфазного рельефа синусоидальной формы. Проведен анализ сходимости полученного асимптотического решения, при этом результаты расчета сравниваются с аналогичными результатами, полученными методом конечных элементов.
Стоит отметить, что в настоящее время в научной мировой практике накоплен богатый материал по изучению механических свойств тонкопленочных покрытий. Были предложены методы по оценке эффективных свойств, устойчивости, разрушения и накопления повреждений. Исследованы особенности деформации и прочности элементов, созданных на основе однослойных и многослойных пленок. Принципиальные результаты при разработке соответствующих математических моделей связаны с именами таких ученых, как Р.Р. Балохонов, Р.В. Гольдштейн, М.А. Греков, М.Ю. Гуткин, Н.Ф. Морозов, И.А. Овидько, А.В. Панин, В.Е. Панин, А.Е. Романов, Ю.З. Повстенко, Я.С. Подстригач, П.Е. Товстик, А.Б. Фрейдин, R.C. Cammarata, A.G. Evans, L.B. Freund, X. Feng, H. Gao, Y. Huang, J.W. Hutchinson, F. Jonsdottir, W.D. Nix, A.J. Rosakis, B.J. Spencer, D.J. Srolovitz, G.G. Stoney S. Suresh, J.J Vlassak и многих других [10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 3, 5, 7].
В последние несколько десятилетий данное направление получило существенное развитие в связи с необходимостью создания моделей для прогноза свойств наноразмерных пленочных покрытий. Хорошо известно, что механические свойства материалов с наноструктурой не поддаются прогнозированию с помощью классических моделей, так как в эти модели не заложены параметры, связанные с влиянием поверхностной энергии. Однако, с уменьшением размеров деформируемых тел до нанометрового диапазона доля приповерхностных атомов увеличивается, и они начинают оказывать заметное влияние на упругое поведение всего тела. Этот эффект был подтвержден многочисленными экспериментальными работами А.Д. Коротаева, В.Ю. Мошкова, С.В. Овчинникова, Ю.П. Пинжина, В.М. Савостикова, А.Н. Тюменцева, S.E. Bobbin, M. Brink, R.C. Cammarata, J. Cao, M.J. Casavant, D.T. Colbert, S. Cuenot, H. Dai, S. Demoustier- Champagne, H.L. Duan, L.M. Erickson, A. Fartash, C. Fretigny, E.E. Fullerton, M. Grimsditch, M. Hernandez-Velez, G.Y. Jing, M. Knobel, S. Kumar, Y.D. Li, J. Liu, P.L. McEuen, E.D. Minot, D. Navas, B. Nysten, J.Y. Park, K.R. Pirota, V. Sazonova, I.K. Schuller, R.E. Smalley, A. Smith, E.L. Silva, X.M. Sun, M. Vazquez, J.W. Wagner, D.A. Walters, J.X. Wang, Q. Wang, J. Xu, K.Y. Yaish, D.P. Yu, D. Zanchet, Z.S. Zhang и др. [18, 19, 20, 21, 16].
Расчеты на основе метода молекулярной динамики, проведенные в исследованиях И.Ф. Головнева, Е.И. Головневой, А.М. Игошкин, Л.А. Мержиевского, В.Ф. Фомина, M.J. Buehler, A. Hartmaier, H. Gao, H. Gleiter, R.E. Miller, A.K. Mukherjee, S.R. Phillpot, V.B. Shenoy, D. Wolf, V. Yamakov, H. Yao и др. [22, 23, 24, 25, 26], позволили развить подход, в рамках которого деформируемое твердое тело рассматривается в качестве многоуровневой системы, где поверхностные слои являются отдельными подсистемами, обладающими физическими и механическими свойствами отличными от основного материала объемной части. Решению соответствующих краевых задач теории упругости, сформулированных на основе вышеописанного подхода, посвящены работы таких ученых, как П.А. Белов, Р.В. Гольдштейн, В.А. Городцов, М.А. Греков, М.Ю. Гуткин, В.А. Еремеев, А. Землянновой, Л.П. Лебедев, С.А. Лурье, Л. Назаренко, Н.Ф. Морозов, А.В. Панин, В.Е. Панин, Ю.З. Повстенко, Я.С. Подстригая, Ю.О. Соляев, К.Б. Устинов, H. Altenbach, M.E. Gurtin, A.I. Murdoch, H.L. Duan, J. Wang, Z.P. Huang, B.P. Karihaloo, L. Tian, R.K.N.D. Rajapakse, P. Sharma, S. Ganti, H.K. Stolarski, S.L. Crouch, P. Schiavone, C.-Q. Ru, Y. Benveniste, T. Miloh, D.J. Steigmann, R.W. Ogden и многих других [27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 7, 11]. При этом для описания для описания поверхностной либо межфазной упругости используются различные определяющие соотношения, дополняющий обычный закон Гука для объемной фазы.
Одной из самых распространенных на данный момент моделей, позволяющих описывать деформацию поверхностных и межфазных слоев, а следовательно и учитывать влияние поверхностной/межфазной энергии, является модель поверхностной упругости Гертина-Мердока [31, 32]. Приповерхностный слой в рамках представленной модели представляется в виде упругой мембраны, которая когерентно связана с основным материалом. Таким образом, полные смещения поверхности совпадают с полными смещениями прилегающей объемной части. При этом полные поверхностные деформации связываются с полными смещениями по обычным формулам, используемым в классической теории упругости. Для связи компонент тензора поверхностных напряжений с компонентами тензора поверхностных деформаций вводятся определяющие соотношения аналогичные тем, что используются в законе Гука, однако, поверхностные упругие константы и напряжения имеют размерность Н/м. Также в определяющих соотношениях учитываются остаточные напряжения, которые возникают при формировании поверхности. Стоит отметить, что в некоторых работах члены определяющих соотношений, соответствующие остаточным напряжениям, отбрасываются в предположении их малости [33, 34, 35]. В представленной работе они также не учитываются. В качестве уравнений, описывающих механическое равновесие поверхности, используются уравнения обобщенного закона Лапласа-Юнга, которые определяют скачок напряжений при переходе от объемной к поверхностной фазе, обусловленный действием поверхностных напряжений. В целом, подобный подход показал свою эффективность при решении широкого круга задач, связанных с моделированием и прогнозированием механических свойств материалов с наноструктурой в виде нановключений, нанопор, нанопроволок, нанотрубок, нановолокон, нанопленок и т.п. [36, 37, 38, 11].
Заметим, что большинство вышеупомянутых исследований были ограничены идеальной формой рассматриваемых свободных и межфазных поверхностей. Однако, как уже было отмечено, стоит принять во внимание тот факт, что при определенных условиях поверхностные атомные слои являются термодинамически неустойчивыми к зарождению и росту топологических дефектов. Это, в первую очередь, связано с изменениями на атомном уровне в результате механического, радиационного, термического или химического воздействия при производстве, обработке и эксплуатации наноматериалов [39, 40, 41]. Таким образом, одним из важнейших направлений в рамках указанной проблемы является разработка теоретических подходов, позволяющих исследовать влияние размеров и формы таких дефектов на механическое поведение наноматериала. Представленная работа является дальнейшим продолжением исследований [42, 43, 44, 45, 12, 13], связанных с разработкой теоретических моделей для изучения напряженного состояния вблизи искривленных внутренних и внешних границ твердых тел и тонкопленочных покрытий. Здесь, с использованием определяющих соотношений Гертина-Мердока и подхода к решению соответствующей краевой задачи, предложенного в работе [43] на основе комплексных потенциалов и метода малого параметра, проанализировано поведение окружных напряжений вдоль межфазного рельефа синусоидальной формы. Проведен анализ сходимости полученного асимптотического решения, при этом результаты расчета сравниваются с аналогичными результатами, полученными методом конечных элементов.
В представленной работе была рассмотрена континуальная модель двухкомпонентного материала с наноразмерными топологическими дефектами межфазной границы. На основе определяющих Гертина-Мердока и плоской теории упругости была сформулирована и решена соответствующая краевая задача. С использованием комплексных потенциалов и метода малого параметра исследовано распределение окружных напряжений вдоль межфазного рельефа синусоидальной формы, а также зависимость коэффициента концентрации напряжений от геометрических и физических параметров задачи. Проведен анализ сходимости полученного асимптотического решения, при этом результаты расчета сравнивались с аналогичными результатами, полученными методом конечных элементов. Было показано, что сходимость представленного решения зависит от отношения амплитуды к длине волны возмущения " = A/a,а также относительной жесткости рассматриваемой двухфазной системы r = ц1/ц2. С увеличением параметра " необходимо учитывать большее количество членов ряда в асимптотическом разложении. Увеличение параметра rот 0 до 1 приводит к противоположному эффекту.
Полученные результаты помогут в дальнейшем более точно оценивать напряженное состояние слоистых нанокомпозитов с искривленными межфазными границами, что довольно актуально при разработке и ис-пользовании устройств микро- и оптоэлектроники. В качестве дальнейшего продолжения начатых исследований имеет смысл рассмотреть влияние формы рельефа. Такое исследование существенно расширит область применения представленного в работе метода, так как поверхность твердого тела, подвержанная электрическому, химическому либо термическому воздействия, может менять свою форму от слабого возмущения до острых трещинообразных впадин.
Полученные результаты помогут в дальнейшем более точно оценивать напряженное состояние слоистых нанокомпозитов с искривленными межфазными границами, что довольно актуально при разработке и ис-пользовании устройств микро- и оптоэлектроники. В качестве дальнейшего продолжения начатых исследований имеет смысл рассмотреть влияние формы рельефа. Такое исследование существенно расширит область применения представленного в работе метода, так как поверхность твердого тела, подвержанная электрическому, химическому либо термическому воздействия, может менять свою форму от слабого возмущения до острых трещинообразных впадин.