Математическое моделирование систем обслуживания является популярной темой более семидесяти лет. В последнее время особый интерес вызывало моделирование трафика в коммуникационных системах. Построенные в этой области модели нашли применение и в других сферах - биологии, медицине, экологии. Среди математиков, которые проводили исследования в данной области, большой вклад внесли Rosenblatt, Taqqu, Mandelbrot, Brillinger, Parzen и другие. При моделировании систем особый интерес представляет поведение нагрузки на систему.
Многие современные модели систем обслуживания строятся на базе пуассоновских случайных мер. Важнейшие характеристики системы, такие как нагрузка, записываются в виде интегралов от этих мер, что открывает путь к их асимптотическому исследованию [7, 8, 5, 9, 3].
В настоящей работе рассматривается обобщение на многомерный случай дискретных моделей обслуживания [9, 8, 3, 10], которые называются пуассоновскими моделями с бесконечным числом источников. Такие обобщенные модели можно использовать для моделирования беспроводных сетей, пористых сред или загрязнений окружающей среды.
В этой работе мы представляем модель именно в терминах экологии, потому что соответствующий язык наиболее нагляден и указывает на одну из возможных сфер применения изучаемой модели (см. Раздел 2).
Е. Аззо [6] уже рассматривала обобщение на многомерный случай дискретной модели обслуживания, представленное в данной работе, но с другими предположениями о параметрах модели, что приводит к совершенно другим математическим результатам (предельным теоремам).
В работе описана основная идея многомерной дискретной системы обслуживания. Введено формальное определение такой модели через пуассоновские меры и интегралы. Затем было изучено макроскопическое поведение нагрузки на систему — сформулирована и доказана основная теорема о существовании и виде предельной случайной величины, а также при дополнительных предположениях изучена сходимость конечномерных распределений нормированной нагрузки в случае d=1 и d=2.
