Введение 2
2 Ориентированные теории когомологий 3
3 Расслоения со слоем квадрика 7
3.1 Базис в когомологиях квадрики 7
3.2 Квадратичные формы на векторных расслоениях 8
4 Линейные соотношения в кобордизмах SOn 14
Литература
Исторически изучение структуры кольца Чжоу или в негладком случае групп Чжоу, являлось одной из главных задач алгебраической геометрии, так как в данных инвариантах содержится информация про все подмногообразия исходного многообразия, что позволяет эффективно описывать геометрические свойства. Другим интересным инвариантом многообразия является K-теория, которая была построена Александром Гротендиком для обобщения теоремы Хирцебруха-Римана-Роха и описывает вектроные расслоения над нашим многообразием.
Обобщая данные инварианты М. Левин и Ф.Морель в [9] ввели аксиоматическое понятие ориентированных теорий когомологий, которое является алгебро-геометрическим аналогом комплексно-ориентированных теорий когомологий в топологии, построив универсальную теорию - алгебраические кобордизмы. Кроме того, примерами таких теорий являются К-теория Моравы, коннективная К-теория, когомологии Брауна- Петерсона. Похожую концепцию ввели И.Панин и А.Смирнов и доказали обобщение теоремы Гротендика-Римана-Роха [14].
Данная работа посвящена вычислению некоторых соотношений в кольце алгебраических кобордизмов специальной ортогональной группы произвольного ранга с помощью явных геометрических конструкций. Согласно [12] на образующие кольца Чжоу данной группы X1, ...XN, которые являются пулбэками некоторых многообразий Шуберта с многообразия полных флагов, есть соотношения двух видов: ”квадрататичные” и ’’линейные”, причём последние имеют вид 2Хг= 0, для всех i. В данной работе вычисляются аналоги только линейных соотношений. Похожей техникой могут быть получены и квадратичные соотношения, но это тема дальнейшей работы. Подобные вычисления фактор кольца кобордизмов по некоторому идеалу методами алгебраической топологии для Spinnбыли проделаны Ягитой [15] для опровержения гипотезы Карпенко о строении кольца Чжоу многообразия флагов версального торсора, но в данном вычислении теряется большое количество информации, в частности, доказанные нами соотношения являются новыми.
Работа устроена следующим образом: в 1 главе даются основные определения и свойства ориентированных теорий когомологий, в главе 2 до- называются некоторые свойства кольца кобордизмов расслоений квадрик, имеющих максимальное тотально изотропное подрасслоение, в главе 3 результаты предыдущей главы применяются для вычисления "линейных” соотношений в кольце кобордизмов многообразия полных флагов, из которых факторизацией получаются соотношения для SOn. Основными результатами являются теоремы 4.1 и 4.2.
В работе свободно используется терминология алгебраической геометрии и теории алгебраических групп, для подробного изложения отсылаем читателя к [5], [11].
Соглашения Под многообразием мы будем понимать отделимую квазипроективную схему конечного типа над полем. Точка всегда означает замкнутую точку. Под вложением мы будем понимать замкнутое вложение, если противное не оговорено явно.
