Тема: Алгебраические кобордизмы специальной ортогональной группы

Исторически изучение структуры кольца Чжоу или в негладком случае групп Чжоу, являлось одной из главных задач алгебраической геометрии, так как в данных инвариантах содержится информация про все подмногообразия исходного многообразия, что позволяет эффективно описывать геометрические свойства. Другим интересным инвариантом многообразия является K-теория, которая была построена Александром Гротендиком для обобщения теоремы Хирцебруха-Римана-Роха и описывает вектроные расслоения над нашим многообразием.
Обобщая данные инварианты М. Левин и Ф.Морель в [9] ввели аксиоматическое понятие ориентированных теорий когомологий, которое является алгебро-геометрическим аналогом комплексно-ориентированных теорий когомологий в топологии, построив универсальную теорию - алгебраические кобордизмы. Кроме того, примерами таких теорий являются К-теория Моравы, коннективная К-теория, когомологии Брауна- Петерсона. Похожую концепцию ввели И.Панин и А.Смирнов и доказали обобщение теоремы Гротендика-Римана-Роха [14].
Данная работа посвящена вычислению некоторых соотношений в кольце алгебраических кобордизмов специальной ортогональной группы произвольного ранга с помощью явных геометрических конструкций. Согласно [12] на образующие кольца Чжоу данной группы X1, ...XN, которые являются пулбэками некоторых многообразий Шуберта с многообразия полных флагов, есть соотношения двух видов: ”квадрататичные” и ’’линейные”, причём последние имеют вид 2Хг= 0, для всех i. В данной работе вычисляются аналоги только линейных соотношений. Похожей техникой могут быть получены и квадратичные соотношения, но это тема дальнейшей работы. Подобные вычисления фактор кольца кобордизмов по некоторому идеалу методами алгебраической топологии для Spinnбыли проделаны Ягитой [15] для опровержения гипотезы Карпенко о строении кольца Чжоу многообразия флагов версального торсора, но в данном вычислении теряется большое количество информации, в частности, доказанные нами соотношения являются новыми.
Работа устроена следующим образом: в 1 главе даются основные определения и свойства ориентированных теорий когомологий, в главе 2 до- называются некоторые свойства кольца кобордизмов расслоений квадрик, имеющих максимальное тотально изотропное подрасслоение, в главе 3 результаты предыдущей главы применяются для вычисления "линейных” соотношений в кольце кобордизмов многообразия полных флагов, из которых факторизацией получаются соотношения для SOn. Основными результатами являются теоремы 4.1 и 4.2.
В работе свободно используется терминология алгебраической геометрии и теории алгебраических групп, для подробного изложения отсылаем читателя к [5], [11].
Соглашения Под многообразием мы будем понимать отделимую квазипроективную схему конечного типа над полем. Точка всегда означает замкнутую точку. Под вложением мы будем понимать замкнутое вложение, если противное не оговорено явно.

Купить