Введение 3
Обзор литературы 6
Описание модели «дилеммы заключённого для n лиц» 10
Определение эффективного наказания 15
Модель кооперации в повторяющейся игре 15
Модель кооперации в динамической игре 25
Подъядро игры «дилемма заключенного n лиц» 28
Вектор Шепли для «дилеммы заключенного n лиц» 36
Вектор Шепли стохастической «дилеммы заключенного n лиц» ... 36
Вектор Шепли динамической «дилеммы заключенного n лиц» .... 40
Вывод 46
Список литературы 48
В современном мире многие процессы взаимодействия людей можно описать теоретико-игровой моделью. Одной из основополагающих моделей теории игр является «дилемма заключённого». Она позволяет анализировать взаимодействие двух рациональных агентов в условиях, когда для достижения общей выгоды необходимо поступиться личными интересами (отказаться от выбора строго доминирующей стратегии для достижения Парето- оптимума). Для реализации многостороннего взаимодействия была реализована модель «дилеммы заключённого n лиц», которая впервые была рассмотрена Гамбургером (Hamburger H.) [7]. В ней были сохранены основные принципы взаимодействия, аналогичные классической модели.
Решение подобного рода задач заключается в нахождении равновесных стратегий поведения, а также иных принципов оптимальности в построенной модели. Кроме того, большое количество игроков делает эту задачу более интересной с точки зрения кооперативной теории игр, поскольку даже характиристическая функция выглядит менее тривиально, чем в двухагентной модели.
Эксперименты с частично кооперативным поведением в повторяющейся «дилемме заключённого n лиц» были описаны и проанализированы Страффином [14]. Поскольку взаимодействие лиц осуществляется многоэтапно, а каждый поступок накладывает отпечаток на дальнейшие взаимоотношения, следует рассматривать повторяющийся вариант модели. Ауманн [1] анализирует равновесное поведение в условиях неопределённого количества повторений данной игры.
В данной работе исследуется новый равновесный принцип поведения в условиях данной модели. Строится новая характеристическая функция Петросяна [13] для рассмотрения нормативных принципов оптимальности в динамической модели «дилеммы заключённого n лиц». В частности, находится подъядро Петросяна-Панкратовой [12] динамической игры, которое в т. ч. содержит вектор Шепли.
В первой главе приводится наиболее полное описание модели « дилемма заключённого n лиц», обобщающее уже существующие наработки в этой области, а также построена функция выигрышей игроков, выделены основные положения данной игры. Для наиболее полного понимания строятся таблицы соответствия общей функции выигрыша, выведенной в данной работе, с разными видами таблиц выигрышей, рассматриваемых в более ранней литературе.
В разделе 2 находится новое равновесие по Нэшу в конечной многошаговой игре и доказывается теорема об эффективном наказании при кооперативном поведении игроков в конечной повторяющейся и динамической играх, основанных на модели «дилемма заключённого n лиц». Приводится пример расчёта максимально необходимого количества шагов в повторяющейся и динамической игре для обеспечения эффективного наказания при использовании данной модели для трёх игроков.
В третьем разделе находится ядро динамической модели, а также, основываясь на построении новой характеристической функции Петросяна [13] для многошаговой динамической игры найдено подъядро динамической «дилеммы заключённого n лиц» и доказано, что оно обладает свойством сильной динамической устойчивости.
Последний раздел относится к поискам вектора Шепли в стохастических и динамических играх, основанных на модели «дилемма заключённого n лиц».
Таким образом, в данной дипломной работе была наиболее общим образом описана игра «дилемма заключённого n лиц». Проведён анализ нового равновесного принципа поведения игроков в условиях динамической модели игры.
Определена функция выигрышей игроков данной модели, зависящая от количества кооперирующихся игроков и, соответственно, стратегии данного игрока. Наиболее полно сформулированы отличительные свойства модели игры для каждого из игроков. Построена характеристическая функция для динамической модели. Построены таблицы сопоставления обобщённой функции выигрыша игроков, сформулированной в данной модели, с различными вариантами частичной записи выигрышей игроков, предложенными в различных источниках.
Выведено ещё одно коалиционно-устойчивое на первых K — к* шагах и индивидуально устойчивое на последних к* шагах решение в конечношаговой повторяющейся игре, каждый шаг которой удовлетворяет рассматриваемой модели. Была доказана теорема об эффективном наказании при кооперативном поведении игроков в повторяющейся игре. Найдено оптимальное наказание в динамической модели «дилеммы заключённого n лиц».
Построено C-ядро динамической модели. Определено D-подъядро Петросяна-Панкратовой [12] для многошаговой динамической игры «дилеммы заключённого n лиц». Доказана его динамическая устойчивость в условиях рассматриваемой модели.
Осуществлён поиск нормативных принципов оптимальности, таких, как, например вектор Шепли в стохастической и динамической играх, основанных на модели «дилемма заключенного n лиц».
