Введение 4
Постановка задачи 6
Обзор литературы 7
1 Модели распределения масс в звездной системе 9
1.1 Семейство моделей для сферических систем 9
1.2 Ротационно-симметрическая система 9
1.2.1 Описание модели 9
1.2.2 Уравнения движения и выбор начальных условий . . 10
1.2.3 Сечения Пуанкаре 11
1.3 Трехосная система 12
1.3.1 Описание модели 12
1.3.2 Уравнения движения и выбор начальных условий . . 14
1.3.3 Сечения Пуанкаре 15
2 Численные методы 16
2.1 Вложенные методы Рунге-Кутты 16
2.2 Симплектические методы 18
2.3 Сравнение методов 19
3 Орбиты и сечения Пуанкаре 21
3.1 Орбиты 21
3.1.1 Ротационно-симметрическая модель 21
3.1.2 Трехосная модель 22
3.2 Сечения Пуанкаре 22
3.2.1 Ротационно-симметрическая модель 22
3.2.2 Трехосная модель 23
Выводы 25
Заключение
27
Список литературы
28
Приложение 1
30
Приложение 2
32
Моделирование движения тел в космосе всегда актуально. Один из способов решения такой задачи — построение модели гравитационного поля звездной системы. Знание математической модели для конкретной галактики или звездного скопления позволяет наиболее полно изучить систему. Ведь в этом случае можно предугадывать ее развитие, или наоборот, наблюдать эволюцию в прошлом.
В последнее десятилетие активно исследуются и предлагаются различные математические модели для гравитационного поля галактик, шаровых и рассеянных звездных скоплений, скоплений галактик. Нередко модель представляет собой аналитическое выражение для потенциала ' = '(r, t). Однако чаще всего авторы используют стационарную модель, когда потенциал ' не зависит от времени t. В данной работе рассмотрено трехпараметрическое семейство потенциалов. Оно интересно тем, что при некоторых наборах параметров получаются уже известные модели. Например, обобщенно-изохронные модели Кузмина-Маласидзе-Велтманна, модель Аня-Эванса и другие.
Изучение параметрических семейств потенциалов имеет большое практическое значения. Для того, чтобы применять модель к реальным звездным системам на основании, например, фотометрических данных, необходимо иметь четкое представление о том, как и какой параметр влияет на задаваемое гравитационное поле. Тогда можно будет выбрать наиболее подходящий набор параметров для рассматриваемого случая. Исследование модели можно проводить, опираясь на вид и характер движения пробного тела в гравитационном поле. Именно этот метод описан в данной работе.
Выпускная квалификационная работа состоит из введения, постановки задачи, обзора литературы, трех глав, выводов, заключения, списка литературы и приложений. В первой главе рассматривается математическая модель, соответствующая ей динамическая система и методы анализа траекторий. Также в ней приведены условия выбора начальных данных для задачи Коши. Вторая глава посвящена решению полученной системы дифференциальных уравнений с помощью различных численных методов и анализа их эффективности для заданной системы. В третьей главе показаны результаты вычислений: графики орбит и сечений Пуанкаре.
Таким образом, в данной работе представлен графический анализ движения тел. Рассмотрены различные виды орбит в зависимости от начальных условий и значений параметров модели. Полученные траектории исследуются в фазовой плоскости с помощью сечений Пуанкаре при различных значениях интегралов движения и структурных параметров модели.
В данной работе была рассмотрена задача изучения модели гравитационного потенциала с помощью построения траекторий движения пробных тел в задаваемом поле. Для полученных моделей были определены допустимые значения параметров и для них поставлена и решена задача Коши. Были изучены численные методы и применены те, что наиболее подходят к данной задаче. На основании результатов массового численного интегрирования по области допустимых начальных условий определено их влияние на характер орбит, проанализирована чувствительность орбит к выбору значений структурных параметров и интегралов движения.
Некоторые результаты работы были представлены на конференциях:
• 47-ая студенческая научная конференция "Физика Космоса";
• 49-ая международная научная конференция «Процессы управления и устойчивость»;
• 50-ая международная научная конференция «Процессы управления и устойчивость»
и вошли в публикации трудов перечисленных конференций.
