Введение 3
Постановка задачи 5
Обзор литературы 6
§1 Предварительные сведения 8
п. 1.1 Определения и обозначения 8
п. 1.2 Критерий экспоненциальной устойчивости 9
п. 1.3 Функционал и матрица Ляпунова 10
п. 1.4 Вычисление матрицы Ляпунова 11
§2 Описание метода 13
п. 2.1 Оценка погрешности приближения 13
п. 2.2 Оценка функционала 15
п. 2.3 Основной результат 21
§3 Пример 23
Выводы 27
Заключение 28
Список литературы 29
Для описания реальных процессов в математическом моделировании часто используются обыкновенные дифференциальные уравнения, в которых
скорость процесса зависит от его состояния в данный момент времени. Однако рассмотрение некоторого числа предыдущих состояний наряду с текущим приводит к моделям, более точно отражающим действительность,
— уравнениям с запаздыванием.
На практике моменты времени, в которые состояние системы оказывает
влияние на текущую скорость процесса, не всегда могут быть точно определены. Более того, встречаются ситуации, в которых поведение системы
определяется ее предшествующими состояниями на непрерывном временном промежутке. Такой совокупный эффект запаздывания выражается интегралом, стоящим в правой части системы, и получил название распределенного запаздывания.
Системы с распределенным запаздыванием активно используются в различных областях знания: в химии, медицине, технике, экологии, экономике, биологии и др. Например, обобщённое уравнение Хатчинсона [1] — одна
из широко известных биологических моделей — описывает динамику численности видов животных с учётом ограниченности ресурсов (доступной
пищи, размера территории обитания и др.)
Как в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, так и в теории
уравнений с запаздывающим аргументом важной задачей является задача
анализа устойчивости. На примере обобщённого уравнения Хатчинсона [1]
устойчивость решения этого уравнения означает воможность для популяции вида вернуться к равновесному состоянию.
Для анализа устойчивости линейных систем дифференциальных уравнений с запаздыванием применяется обобщение второго метода Ляпунова
на данный класс систем — метод функционалов Ляпунова - Красовского. Согласно известной теореме Красовского [2], для анализа устойчивости
требуется функционал, имеющий отрицательно определенную производ-
3ную вдоль решений системы и допускающий квадратичные оценки снизу и
сверху. Такой функционал найден в работе В.Л. Харитонова и А.П. Жабко [3]. При этом использован следующий подход: построен квадратичный
функционал, имеющий заранее заданную отрицательно определенную производную вдоль решений системы, а затем доказано, что этот функционал
допускает квадратичную оценку снизу в случае экспоненциальной устойчивости системы.
В работах И.В. Медведевой и А.П. Жабко (см. [4, 5] для систем с сосредоточенным и [6] для систем с распределенным запаздыванием) показано, что для проверки устойчивости достаточно иметь функционал, допускающий квадратичную оценку снизу только на специальном множестве
функций, удовлетворяющих аналогу условия Разумихина. В [4, 5] предложена группа конструктивных методов анализа устойчивости линейных
дифференциально-разностных систем с сосредоточенным запаздыванием.
Данная работа посвящена обобщению методов [4,5] на случай систем с распределённым запаздыванием. Разработан конструктивный подход к анализу устойчивости таких систем на примере линейного дифференциального
уравнения с распределённым запаздыванием.
Исследование показало, что поставленная задача является выполнимой
и конструктивный метод анализа экспоненциальной устойчивости [4–6] может быть распространён на класс линеных уравнений с распределённым
запаздываением.
Следующим этапом в данном исследовании станет изучение возможности
обобщения данного метода на случай систем дифференциальных уравнений с распределённым запаздыванием, а так же замена линейного приближения функционала на кубическое, что, исходя из проведённых ранее
исследований [4], может улучшить точность метода.
Помощь студентам и аспирантам в выполнении работ от наших партнеров
