Введение 4
Постановка задачи 6
Обзор литературы 7
Глава 1. Модель ФитцХью—Нагумо и ее модификация 10
1.1. Модель ФитцХью—Нагумо (ФХН) 10
1.2. Модификация модели ФХН 15
Глава 2. Математическая модель 18
2.1. Предлагаемая математическая модель 18
2.2. Простейшие свойства модели 20
2.3. Выбор параметров модели 21
Глава 3. Моделирование колебаний и переходных процессов 22
3.1. Выбор программных средств моделирования 22
3.2. Анализ результатов моделирования 23
3.3. Циркадные колебания 34
Выводы 37
Заключение 39
Список литературы
Нейроэндокринная система осуществляет регуляцию обменных процессов, происходящих в организме человека или животного, путем секреции различных гормонов. Она распадается на несколько подсистем (гормональных осей), каждая из которых включает гипоталамус, гипофиз и регулируемый орган (определенную эндокринную железу). Колебательный характер выделения (секреции) гормонов в таких системах является объектом многих исследований. С математической точки зрения вопрос заключается в том, как отразить природу колебаний уровней гормонов при моделировании нейроэндокринной системы в терминах дифференциальных уравнений.
Эта работа посвящена построению новой математической модели гормональной оси «гипоталамус— гипофиз— эндокринная железа». Эта гормональная ось в общем виде описывается следующим образом: вырабатываемый гипоталамусом гормон стимулирует синтез и секрецию гормона гипофиза; он, в свою очередь, стимулирует выработку гормонов эндокринной железы, а они затем ингибируют (подавляют) синтез и секрецию гормонов гипоталамуса и гипофиза [1]. На языке теории управления гормональная ось описывается системой автоматического регулирования с отрицательной обратной связью от эндокринной железы к органам головного мозга. Схема такой гормональной оси представлена на рис. 1. Главной особенностью рассматриваемой гормональной оси является колебательный характер секреции гормонов гипоталамуса, который определяет колебания уровней и остальных гормонов. Основными гормональными ритмами являются ультрадианный, с периодом нескольких часов, и циркадный, период которого примерно равен одним суткам.
Механизм колебательности уровней гормонов пока не полностью изучен. На данный момент существует немало гипотез и моделей гормональных осей, часть из которых будет рассмотрена далее в этой работе.
Работа имеет следующую структуру. В главе 1 будет подробно описана модель нейрона ФитцХью—Нагумо и предложена ее модификация, которая в последствие будет использована как генератор колебаний в модели гормональной оси. В вводном параграфе главы 2 будут описаны существующие модели гормональной регуляции. Далее в главе 2 будет формально сформулирована математическая модель гормональной оси «гипоталамус— гипофиз— эндокринная железа», будут описаны ее простейшие свойства и предложены соображения по поводу выбора параметров модели для дальнейшего численного моделирования. В главе 3 будут представлены результаты численного моделирования колебаний и переходных процессов, а также будет проведен анализ бифуркаций некоторых параметров системы. В последнем параграфе третьей главы будут приведены результаты моделирования циркадных колебаний и продемонстрировано, как эти результаты соотносятся с имеющимися медицинскими данными.
Таким образом, в работе была предложена новая математическая модель гормональной оси «гипоталамус— гипофиз— эндокринная железа». Предложенная модель отразила главную особенность рассматриваемой гормональной оси, а именно колебательный характер секреции гормонов гипоталамуса. Это удалось сделать с помощью модифицированной модели нейрона ФитцХью—Нагумо, модификация которой была также предложена в работе. Колебательная динамика выработки гормонов была иллюстрирована результатами численного моделирования.
Математическое моделирование играет важную роль в изучении нейрогормональной системы человека. По этическим соображениям многие процессы, происходящие в мозгу человека, не могут быть измерены, так как они связаны с ущербом для здоровья. Эксперименты над лабораторными животными не всегда вполне отражают свойства человеческого организма. Поэтому математическое моделирование (в сочетании с доступными медицинскими данными) открывает путь к неинвазивному исследованию гормональной системы человека.
Эти исследования могут быть использованы при разработке новых методов гормональной терапии. Например, в фармокологии важна задача создания систем доставки лекарственных средств, имитирующих колебательность, наблюдаемую в нейроэндокринной регуляции. Важное современное направление — разработка электронных устройств с обратной связью, которые определяют уровни циркулирующих гормонов, а затем вводят гормональные препараты автоматически, в колебательном режиме. В качестве примера таких устройств выступает искусственная поджелудочная железа.
Предложенная математическая модель может позволить проводить изучение гормональной системы человека неинвазивно, без каких-либо этических ограничений, а также учитывать индивидуальные особенности пациента.
На тему гормональной регуляции в системе гипоталамус-гипофиз-эндокринная железа у автора имеются совместные публикации [2, 11]. Часть результатов докладывалась на Международной студенческой конференции «Science and Progress 2020» (СПбГУ) и на конференции «Математическая теория управления и ее приложения (МТУИП-2020)» (АО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор»),
