Тема: Полные линеаризованные системы для задачи двух тел: уравнения Кеплера

В современном мире компьютерные технологии помогают в решении целого спектра математических проблем, которые еще полвека назад казались человечеству невероятно трудными, ввиду сложности расчетов или невозможности аналитического решения. На сегодняшний день вычислительные мощности новейших компьютерных систем позволяют нам использовать численные методы для получения приближенного результата. Однако, иногда даже тех мощностей, которых мы достигли сейчас или же можем достичь в обозримом будущем может не хватать для достаточно быстрого или достаточно точного вычисления, что является колоссальной проблемой в некоторых задачах. Поэтому исследования в области изучения, сравнения и улучшения имеющихся численных методов крайне важны как для дальнейшего продвижения науки в целом, так и для прикладного использования наших математических знаний.
В данной работе проводятся исследования применений численных методов в задаче двух тел. В классической механике, задача двух тел состоит в том, чтобы определить движение двух точечных частиц, которые взаимодействуют только друг с другом. Примеры данной задачи включают в себя спутник, обращающийся вокруг планеты, планета, обращающаяся вокруг звезды, электрон, движущийся вокруг атомного ядра. Данное движение может описываться системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Такие системы хорошо изучены и для них существует множество численных методов приближенного решения, однако наиболее оптимальный метод зависит напрямую от конкретной системы. Одним из методов численного решения для подобных систем является метод рядов Тейлора, который хорошо работает если интегрируемая система имеет полиномиальные правые части, часто давая преимущество в точности вычислений в сравнении с другими методами. Однако, в общем случае это может сделать программную реализацию метода более медленной и более громоздкой. Математическую модель задачи двух тел также можно представить в виде полной полиномиальной системы уравнений в частных производных. Но до недавнего времени литературы, описывающей алгоритм метода рядов Тейлора для подобных систем, не было. Статья «Estimates for Taylor series method to polynomial total systems of PDEs» (Бабаджанянц Л.К, Потоцкая И.Ю., Пупышева Ю.Ю.), дающая необходимые математические инструменты для интегрирования полных полиномиальных систем УрЧП была опубликована в «Вестнике СПбГУ» только в начале мая 2021 года. Данная работа может рассматриваться как первый этап решения полной полиномиальной системы уравнений в частных производных, описывающей задачу двух тел. Для программной реализации метода рядов Тейлора, в данной работе будет рассматриваться модель задачи двух тел, отладка будет проводиться на фиктивных значениях.
Результаты данной работы могут быть использованы для дальнейшего изучения численных методов решения линейных систем уравнений в частных производных.
В данной работе объектом исследования является задача двух тел, предметом исследования - методы решения системы дифференциальных уравнений, описывающих задачу двух тел .
Выполнение этой работы было разделено на несколько этапов: изучение литературы, связанной с задачей двух тел, анализ полученной информации, моделирование системы.
Структурно работа состоит из нескольких глав. В первой главе приводится описание задачи двух тел. Вторая глава посвящена построению системы полиномиальных уравнений в частных производных для данной задачи, их линеаризация, и описание метода рядов Тейлора. В третьей главе представлено описание алгоритма программной реализации метода Тейлора для получения численного решения линеаризованной системы.
Постановка задачи
Целью работы является применение метода рядов Тейлора для интегрирования линейных полных уравнений в частных производных, моделирующих линеаризованную задачу двух тел.
Были поставлены следующие задачи:
1) Изучить задачу двух тел;
2) Изучить метод полиномиальных систем;
3) Представить математическую модель задачи двух тел в виде полной полиномиальной системы в частных производных;
4) Линеаризовать полученную систему;
5) Составить алгоритм применения метода рядов Тейлора для интегрирования линеаризованной задачи двух тел;
6) Реализовать составленный алгоритм в среде Matlab.
Купить

В ходе работы была изучена литература о задаче двух тел интегрировании систем дифференциальных уравнений методом Тейлора, а также выписана и линеаризована полиномиальная система дифференциальных уравнений в частных производных для задачи двух тел, составлен алгоритм для реализации методов рядов Тейлора для полученной системы, проведена программная реализация алгоритма в среде MatLab. Полученные результаты можно рассматривать как первый шаг к решению полных полиномиальных систем уравнений в частных производных. В дальнейшем планируется работа над решением уже полиномиальной задачи. Также, в качестве продолжения работы можно сравнить данный метод с методом Рунге-Кутта для выяснения преимуществ и недостатков обоих методов.
Купить