1. Введение 4
2. Когомологии Хохшильда алгебр серии SD(2B)i 5
2.1. Построение резольвенты 7
2.2. Младшие группы когомологий 10
2.3. Старшие группы когомологий 14
3. Гомологии абелевых групп 20
3.1. Фильтрация алгебры Хопфа, ассоциированная с короткой точной последовательностью 22
3.2. Общие сведения о гомоморфизме Бокштейна и теореме об универсальных коэффициентах 24
3.3. Когомологии конечно порожденных абелевых групп 24
3.4. Гомологии абелевых групп 26
3.5. Не существование факторизации функтора (ко)гомологий через пару векторных пространств 27
4. Парасвободные алгебры Ли 28
4.1. Доказательства 29
4.2. Гомологии пронильпотентного пополнения свободной алгебры Ли 30
4.3. Доказательство теоремы A 33
4.4. Доказательство теоремы B 35
Список литературы 36
Группы (ко)гомологий были изначально введены в алгебраической топологии как инвариант пространства, в некотором алгебраическом смысле описывающем его дыры. Дальнейшее изучение этих инвариантов и методов их вычисления позволили определить подобные инварианты для различных алгебраических структур. Большинство групп или модулей гомологий можно определить как производные функторы на соответствующих абелевых категориях, измеряющие насколько далек функтор от того, чтобы быть точным. Младшие группы (ко)гомологий обычно имеют интуитивно понятный смысл, описывающий свойства соответствующего объекта в терминах самого объекта. Однако единого понимания этого инварианта для различных структур не существует, более того для большинства структур нет интуитивной интерпретации для старших гомологий. Несмотря на то, что гомологии часто описывают какие-то внутренние и очень абстрактные свойства объекта, они бывают очень информативными. В работе приводятся примеры вычисления групп (ко)гомологий для различных структур, а также некоторые применения результатов этих вычислений. Текст разделен на три главы, в каждой из которой рассматривается своя алгебраическая структура и соответствующая теория (ко)гомологий: первая глава посвящена группам когомологий Хохшильда серии ассоциативных алгебр ручного типа представления, вторая — гомологиям классифицирующих пространств абелевых групп с коэффициентами в Z/2Z, а в последней изучаются гомологии алгебр Ли.
Все результаты предоставленной работы опубликованы в 2016-2020 годах в [53], [54], [55], [56].
В работе приведены примеры вычисления групп (ко)гомологий для различных структур, а также некоторые применения результатов этих вычислений. Первая глава посвящена группам когомологий Хохшильда серии ассоциативных алгебр ручного типа представления, вторая — гомологиям классифицирующих пространств абелевых групп с коэффициентами в Z/2Z, а в последней главе изучаются гомологии алгебр Ли.
