Введение 3
Постановка задачи 6
Обзор литературы 7
Глава 1. Задача двух тел 8
1.1 Постановка задачи 8
1.2 Кеплеровы элементы орбиты 8
1.3 Уравнения движения в эллиптическом случае 10
Глава 2. Система дифференциальных уравнений для задачи двух тел 12
2.1 Полиномиальные системы 12
2.2 Линеаризация 14
2.3 Метод рядов Тейлора 18
Глава 3. Численный эксперимент 20
3.1 Описание программы 20
3.2 Результаты эксперимента 21
Заключение 25
Литература 26
Приложение 1 27
Приложение 2 32
В современном мире с развитием технологий, ускорением вычислительных процессов и увеличением памяти компьютеров, растут и задачи, возлагаемые на вычислительные устройства. Однако в последние годы темпы роста мощностей новых устройств не идут ни в какое сравнение с теми, что были еще лет 10-20 назад. Это связано во многом с тем, что мы приближаемся к физическим пределам скорости работы компьютеров, а решение этой проблемы еще не придумано. По этой причине сейчас особенно важно исследовать различные численные методы решения задач, чтобы при необходимости можно было использовать наиболее оптимальный алгоритм.
Системы дифференциальных уравнений активно используются в описании всевозможных процессов физики, химии, биологии и пр. Большинство из задач современных естественных наук в той или иной мере использует дифференциальные уравнения, так как они наиболее удобны для описания поведения процессов во времени, а также исследование дифференциальных уравнений позволяет судить об описываемых изменениях без непосредственного решения, строить предположения о дальнейшей динамике развития, предсказывать исход этих процессов, изучать влияние внешних воздействий и многое, многое другое. Однако не существует какого- то общего аналитического способа решения любого дифференциального уравнения, тем более системы таких уравнений (что в реальной жизни встречается намного чаще). Поэтому при интегрировании дифференциальных уравнений широко используются численные методы. Выбор таких методов достаточно велик. Наиболее распространены пошаговые методы. Хорошо к быстрой смене шага приспособлены явные методы Рунге -Кутта и рядов Тейлора.
Метод рядов Тейлора часто имеет преимущество в точности вычислений. Но сложность применения этого метода заключается в необходимости многократного вычисления коэффициентов рядов. В общем случае это может сделать программную реализацию метода более громоздкой и медленной. Но в случае, когда интегрируемая система имеет полиномиальные правые части, коэффициенты Тейлора вычисляются по простой рекуррентной формуле, и этот численный метод становится предпочтительнее для решения сложных задач.
Одной из таких задач является задача двух тел. Это одна из самых известных задач классической механики, которая заключается в том, чтобы определить движение двух материальных точек, взаимодействующих только друг с другом. Примеры такой задачи очевидны: взаимное движение планеты и спутника, планеты и звезды или электрон, вращающийся вокруг атомного ядра. Математическая модель задачи двух тел может быть представлена в виде полной полиномиальной системы уравнений в частных производных. Решение такой системы может быть получено методом рядов Тейлора. Но до недавнего времени литературы, описывающей такой алгоритм для подобных систем, не было. Только в начале мая 2021 года в «Вестнике СПбГУ» была опубликована статья «Estimates for Taylor series method to polynomial total systems of PDEs» (Бабаджанянц Л.К, Потоцкая И.Ю., Пупышева Ю.Ю.), дающая необходимые математические инструменты для интегрирования полных полиномиальных систем УрЧП методом Тейлора.
Поэтому представляемую мной научную работу можно рассматривать как подготовительный этап к решению полной полиномиальной системы уравнений в частных производных, моделирующей задачу двух тел. Здесь, в качестве знакомства с методом рядов Тейлора, представлено интегрирование им линеаризованной модели задачи двух тел. Практический смысл такой работы заключается в изучении самой модели и численного метода, получении навыков программной реализации алгоритма и её отладки на фиктивных модельных значениях.
Кроме того, результаты моей научной работы в дальнейшем можно будет распространять и на другие линейные полные системы УрЧП.
Объектом исследования данной работы является задача двух тел, а предметом - система дифференциальных уравнений для этой задачи и численные методы для их решения.
Выполнение этой работы состояло из следующих этапов: изучение научно-методической литературы, анализ, моделирование.
Работа имеет следующую структуру. Первая глава посвящена описанию задачи двух тел. Во второй главе описывается система полиномиальных уравнений в частных производных для данной задачи, которая в последствии линеаризуется, и описанию метода рядов Тейлора. Третья глава посвящена описанию программной реализации метода Тейлора для полученной системы.
Постановка задачи
Целью работы являются линеаризация системы полиномиальных уравнений в частных производных для задачи двух тел и решение полученной системы методом рядов Тейлора.
Основываясь на этой цели ставятся следующие задачи:
1. Изучение задачи двух тел.
2. Изучение представления задачи двух тел в виде полиномиальной системы уравнений в частных производных.
3. Линеаризация системы для получения формул для коэффициентов Тейлора.
4. Программная реализация метода в среде MATLAB
В результате исследования мной были получены следующие результаты:
1. В первой главе была изучена задача двух тел и записаны уравнения движения с их решениями в общем виде.
2. Во второй главе была описана система полиномиальных дифференциальных уравнений в частных производных для решения выбранной задачи, получена линеаризованная система.
3. В третьей главе был программно реализован метод рядов Тейлора для линеаризованной системы на внутреннем языке программирования среды MatLab.
Полученные результаты можно рассматривать как первый шаг к решению полных полиномиальных систем уравнений в частных производных. В дальнейшем планируется работа над решением уже полиномиальной задачи.
