Построение областей устойчивости в пространстве коэффициентов в ловушке Пеннинга-Малмберга-Сурко с вращающимся дипольным электрическим полем
|
Введение 3
Постановка задачи 9
Глава 1. Вспомогательные сведения и преобразования системы 11
1.1. Динамика частицы 11
1.2. Переход к системе с постоянными коэффициентами .... 13
Глава 2. Анализ устойчивости системы 16
2.1. Критерий Рауса-Гурвица 16
2.2. Устойчивость семейства полиномов 20
2.2.1 Первый метод - построение и анализ вспомогательной
матрицы 21
2.2.2 Второй метод - детерминантный критерий устойчивости 21
2.3. Приведение характеристического полинома к виду, содержащему только четные степени 24
Глава 3. Учет пространственного заряда 25
3.1. Модель, учитывающая пространственный заряд 25
3.2. Аксиально-симметричный равномерно заряженный бесконечный пучок 27
3.3. Аксиально-симметричный равномерно заряженный пучок
конечной длины 30
3.4. Построение областей устойчивости с учетом пространственного заряда 32
Заключение 38
Список литературы 39
Приложение 41
Постановка задачи 9
Глава 1. Вспомогательные сведения и преобразования системы 11
1.1. Динамика частицы 11
1.2. Переход к системе с постоянными коэффициентами .... 13
Глава 2. Анализ устойчивости системы 16
2.1. Критерий Рауса-Гурвица 16
2.2. Устойчивость семейства полиномов 20
2.2.1 Первый метод - построение и анализ вспомогательной
матрицы 21
2.2.2 Второй метод - детерминантный критерий устойчивости 21
2.3. Приведение характеристического полинома к виду, содержащему только четные степени 24
Глава 3. Учет пространственного заряда 25
3.1. Модель, учитывающая пространственный заряд 25
3.2. Аксиально-симметричный равномерно заряженный бесконечный пучок 27
3.3. Аксиально-симметричный равномерно заряженный пучок
конечной длины 30
3.4. Построение областей устойчивости с учетом пространственного заряда 32
Заключение 38
Список литературы 39
Приложение 41
Электромагнитные ловушки создаются и используются для накопления и долговременного удержания пучков заряженных частиц для различных целей: для проведения экспериментов по измерению параметров как самих частиц, так и различных ядерных, атомных и молекулярных объектов, образованных ими, с наивысшей точностью; как промежуточные секции различных экспериментальных комплексов для накопления, охлаждения и сжатия пучков заряженных частиц перед их использованием в других элементах комплексов для дальнейших экспериментов; для формирования плотной горячей плазмы изотопов водорода в термоядерных генераторах[2].
Такие устройства востребованы в физике ускорителей, масс - спектроскопии, ядерной и атомной физике, плазменных установках. Кроме того, они успешно использовались при физической реализации квантового компьютера и квантовых вычислений. Ловушка типа Пеннинга была применена при создании geonium atom («квазиатома) — связанное состояние электрона. Квазиатом представляет собой псевдоатомную систему, созданную в ловушке Пеннинга, полезную для измерения фундаментальных параметров частиц. В простейшем случае захваченная система состоит только из одной частицы или иона. Такая квантовая система определяется квантовыми состояниями одной частицы, как в атоме водорода. Водород состоит из двух частиц, ядра и электрона, но движение электрона относительно ядра эквивалентно одной частице во внешнем поле.
История создания ловушек начинается во второй половине XX века с экспериментов по долговременному удержанию и охлаждению относительно небольшого числа заряженных и нейтральных частиц. В 1949 г конструкция первой подобной ловушки была предложена Джоном Робинсоном Пирсом. В 1950 немецко-американскому физику Ханс Георгу Демельту удалось создать действующую установку, в которой можно было долговременно удерживать одиночный электрон (на тот момент ему удалось хранить один электрон в течении 10 секунд) . Он назвал ловушку в честь Е.М. Пеннинга, впервые предложившего использовать продольное магнитное поле для удержания плазмы, образованной в электрическом разряде. Через 3 года была создана радиочастотная ионная ловушка Пауля. За работы по изучению и конструированию ловушек, эксперименты по удержанию ионов и электронов и управлению их состояниями В. Паулю и Х. Демельту была присуждена Нобелевская премия 1989 года.
Суть действия ловушки состоит в локализации и удержании заряженных частиц в ограниченной области пространства в течение достаточно длительного времени за счёт действия электромагнитных сил. Для этого формируются специальные комбинации электромагнитных полей, обеспечивающих необходимый характер поведения заряженных частиц внутри ловушки.
Для того, чтобы удерживать заряженные частицы, необходимо поместить их в такое поле, в котором они были бы упруго связаны с точкой или осью в пространстве, то есть на них должна действовать упругая возвращающая сила. Таким образом, частица должна находится в параболической потенциальной яме.
При всем многообразии конструкций ловушек в них используются комбинации электрического и магнитного для удержания заряженных частиц. Соответственно, в ловушках действуют общие законы движения заряженных частиц в этих полях. Существует несколько типов ловушек различной конструкции. Наиболее известны ловушки типа Паули и Пеннинга, а также их различные модификации. Ловушка Пауля (Рис.1) состоит из трех электродов - гиперболоидов вращения, расположенных на общей оси . Торцевые электроды-колпаки находятся под положительным потенциалом (в случае позитронов), а к среднему электроду приложен отрицательный потенциал. Это создает электростатическое поле, удерживающее частицы в центре ловушки. На электроды кроме постоянного напряжения, подается переменное периодическое таким образом, что в пространстве ловушки создается квадрупольное поле. Ключевым недостатком ловушки Пауля является ограниченный размер области накопления, что препятствует накоплению большого количества заряженных частиц.
Если модернизировать ловушку Пауля, выключив в ней переменное напряжение и добавив продольное однородное магнитное поле, то можно
Однородное продольное магнитное поле позволяет удерживать радиальное движение частиц, а аксиально-симметрическое квадрупольное поле, создаваемое электродами, позволяет удерживать аксиальное движение частиц. Магнитное поле проходит вдоль оси ловушки. Электрический потенциал создается благодаря системе из трех электродов: кольца и двух “крышек”. В идеальной ловушке Пеннинга кольцо и крышки являются гиперболоидом вращения. Для захвата положительных ионов к крышкам прикладывается отрицательное напряжение относительно кольца. Такой потенциал создаёт седловую точку в центре ловушки и ограничивает вертикальные колебания ионов. Электрическое поле заставляет ионы осциллировать вдоль вертикальной оси ловушки. Совместно с электрическим, магнитное поле заставляет ионы двигаться в горизонтальной плоскости по траектории, называемой эпитрохоида. Орбитальное движение ионов в горизонтальной плоскости состоит из двух нормальных колебаний c «магнетронной» и «модифицированной циклотронной» частотами. «Циклотронная частота» - это частота вращения частицы в постоянном магнитном поле. Циклотронная частота зависит только от отношения электрического заряда к массе и величины магнитного поля. Высокая точность в измерении этой величины позволяет определить массу заряженных частиц.
При замене электродов - гиперболоидов вращения - отрезками цилиндрических труб, можно получить модификацию ловушки Пеннинга - ловушку Пеннинга-Малмберга (Рис. 3). За счет большего объема, ловушка с такой конфигурацией позволяет создавать большую разницу потенциалов и удерживать в ловушке большее число частиц. Благодаря тому, что к электродам приложена статическая разность потенциалов, крайние электроды создают на оси запирающий потенциал, что позволяет удерживать
частицы в продольном направлении, а статическое продольное магнитное поле удерживает их радиально от попадания на стенки ловушки.
На оси вблизи центра ловушки решение уравнения для потенциала видоизменяется и его можно представить в упрощенном виде, схожем по своей структуре с видом поля электростатического аксиально-симметрического квадруполя. Таким образом, динамику частиц в этой ловушке с достаточно хорошей точностью можно описывать линейным приближением, в следствии чего движение так же будет разделяться на продольные колебания и циклоидальное вращение.
Модификация ловушки, создаваемая добавлением в нее буферного газа называется ловушкой Пеннинга-Малмберга-Сурко. В данной работе рассматривается динамика заряженных частиц в одной из модификаций ловушки Пеннинга-Малмберга-Сурко - ловушка Пеннинга-Малмберга-Сурко с вращающимся дипольным электрическим полем и буферным газом, исследованная ранее в работах [14-16](рис. 4).
Поля рассматриваемой идеальной ловушки комбинируются из постоянных полей ловушки Пеннинга и переменного (вращающегося в поперечной плоскости по всей длине ловушки) электрического поля, называемого также «вращающейся стенкой» (Rotating Wall — RW). Этот элемент создает дипольное электрическое поле вращающееся в поперечной плоскости по всей длине ловушки. Напряженность вращающегося поля в продольном (аксиальном) направлении возрастает по абсолютной величине от центра ловушки к краям и имеет противоположную направленность по разные стороны от центра ловушки (т. е. центрально симметрично).
Для создания в ловушке вращающегося электрического поля электрод изготавливается в виде нескольких изолированных сегментов. На каждый сегмент подаётся переменное гармоническое напряжение с одинаковой частотой и амплитудой, сдвинутое по фазе на определенный угол относительно соседнего сегмента. Таким образом достигается вращение электрического поля в плоскости, перпендикулярной оси ловушки. Такую модификацию ловушки иногда называют ловушкой Чарльтона.
Зависимость накопления заряженных частиц от параметров вращающегося поля носит резонансный характер. Добавление в ловушку вращающегося электрического поля с определенными параметрами позволяет получить как быстрое увеличение показателя роста амплитуды магнетронных колебаний (неустойчивость), так и затухание всех типов колебаний (асимптотическую устойчивость).Результаты анализа влияния вращающегося поля, полученные ранее, были или недостаточно полны [12] или недостаточно строги с математической точки зрения [10, 11]. В работах [5, 6, 8, 18] были предложены общие подходы, применимые для анализа устойчивости и построения численно-аналитических решений уравнений движения исследуемой системы при произвольных значениях ее параметров.
Целью данной работы является установление аналитических критериев, которым должны удовлетворять параметры ловушки данного типа для получения степени устойчивости исследуемой системы в заданном диапазоне (для анализа и настройки соответствующих режимов ее работы: сжатия или расширения). При проведении анализа, необходимо учитывать, как будет вести себя система при учете пространственного заряда, а так же определить, как будет меняться параметры линейной модели при различных значениях накопленного заряда.
В работе исследуются движения одиночных частиц (как без учета влияния пространственного заряда, так и с его учетом) в идеальных полях. Интерес к поставленной задаче возникает из попыток [4, 15] объяснить наблюдаемый в экспериментах [16] эффект сжатия сгустка накопленных частиц вращающимся полем при предельно малых концентрациях накопленных частиц. Фокусирующий эффект в таком случае должен следовать из анализа решения уравнений движения одиночных частиц в полях сил, действующих в ловушке [4], возможность чего была показана в работах [5, 8]. Учет пространственного заряда позволяет внести корректировку в параметры ловушки, в том числе в процессе накопления.
Такие устройства востребованы в физике ускорителей, масс - спектроскопии, ядерной и атомной физике, плазменных установках. Кроме того, они успешно использовались при физической реализации квантового компьютера и квантовых вычислений. Ловушка типа Пеннинга была применена при создании geonium atom («квазиатома) — связанное состояние электрона. Квазиатом представляет собой псевдоатомную систему, созданную в ловушке Пеннинга, полезную для измерения фундаментальных параметров частиц. В простейшем случае захваченная система состоит только из одной частицы или иона. Такая квантовая система определяется квантовыми состояниями одной частицы, как в атоме водорода. Водород состоит из двух частиц, ядра и электрона, но движение электрона относительно ядра эквивалентно одной частице во внешнем поле.
История создания ловушек начинается во второй половине XX века с экспериментов по долговременному удержанию и охлаждению относительно небольшого числа заряженных и нейтральных частиц. В 1949 г конструкция первой подобной ловушки была предложена Джоном Робинсоном Пирсом. В 1950 немецко-американскому физику Ханс Георгу Демельту удалось создать действующую установку, в которой можно было долговременно удерживать одиночный электрон (на тот момент ему удалось хранить один электрон в течении 10 секунд) . Он назвал ловушку в честь Е.М. Пеннинга, впервые предложившего использовать продольное магнитное поле для удержания плазмы, образованной в электрическом разряде. Через 3 года была создана радиочастотная ионная ловушка Пауля. За работы по изучению и конструированию ловушек, эксперименты по удержанию ионов и электронов и управлению их состояниями В. Паулю и Х. Демельту была присуждена Нобелевская премия 1989 года.
Суть действия ловушки состоит в локализации и удержании заряженных частиц в ограниченной области пространства в течение достаточно длительного времени за счёт действия электромагнитных сил. Для этого формируются специальные комбинации электромагнитных полей, обеспечивающих необходимый характер поведения заряженных частиц внутри ловушки.
Для того, чтобы удерживать заряженные частицы, необходимо поместить их в такое поле, в котором они были бы упруго связаны с точкой или осью в пространстве, то есть на них должна действовать упругая возвращающая сила. Таким образом, частица должна находится в параболической потенциальной яме.
При всем многообразии конструкций ловушек в них используются комбинации электрического и магнитного для удержания заряженных частиц. Соответственно, в ловушках действуют общие законы движения заряженных частиц в этих полях. Существует несколько типов ловушек различной конструкции. Наиболее известны ловушки типа Паули и Пеннинга, а также их различные модификации. Ловушка Пауля (Рис.1) состоит из трех электродов - гиперболоидов вращения, расположенных на общей оси . Торцевые электроды-колпаки находятся под положительным потенциалом (в случае позитронов), а к среднему электроду приложен отрицательный потенциал. Это создает электростатическое поле, удерживающее частицы в центре ловушки. На электроды кроме постоянного напряжения, подается переменное периодическое таким образом, что в пространстве ловушки создается квадрупольное поле. Ключевым недостатком ловушки Пауля является ограниченный размер области накопления, что препятствует накоплению большого количества заряженных частиц.
Если модернизировать ловушку Пауля, выключив в ней переменное напряжение и добавив продольное однородное магнитное поле, то можно
Однородное продольное магнитное поле позволяет удерживать радиальное движение частиц, а аксиально-симметрическое квадрупольное поле, создаваемое электродами, позволяет удерживать аксиальное движение частиц. Магнитное поле проходит вдоль оси ловушки. Электрический потенциал создается благодаря системе из трех электродов: кольца и двух “крышек”. В идеальной ловушке Пеннинга кольцо и крышки являются гиперболоидом вращения. Для захвата положительных ионов к крышкам прикладывается отрицательное напряжение относительно кольца. Такой потенциал создаёт седловую точку в центре ловушки и ограничивает вертикальные колебания ионов. Электрическое поле заставляет ионы осциллировать вдоль вертикальной оси ловушки. Совместно с электрическим, магнитное поле заставляет ионы двигаться в горизонтальной плоскости по траектории, называемой эпитрохоида. Орбитальное движение ионов в горизонтальной плоскости состоит из двух нормальных колебаний c «магнетронной» и «модифицированной циклотронной» частотами. «Циклотронная частота» - это частота вращения частицы в постоянном магнитном поле. Циклотронная частота зависит только от отношения электрического заряда к массе и величины магнитного поля. Высокая точность в измерении этой величины позволяет определить массу заряженных частиц.
При замене электродов - гиперболоидов вращения - отрезками цилиндрических труб, можно получить модификацию ловушки Пеннинга - ловушку Пеннинга-Малмберга (Рис. 3). За счет большего объема, ловушка с такой конфигурацией позволяет создавать большую разницу потенциалов и удерживать в ловушке большее число частиц. Благодаря тому, что к электродам приложена статическая разность потенциалов, крайние электроды создают на оси запирающий потенциал, что позволяет удерживать
частицы в продольном направлении, а статическое продольное магнитное поле удерживает их радиально от попадания на стенки ловушки.
На оси вблизи центра ловушки решение уравнения для потенциала видоизменяется и его можно представить в упрощенном виде, схожем по своей структуре с видом поля электростатического аксиально-симметрического квадруполя. Таким образом, динамику частиц в этой ловушке с достаточно хорошей точностью можно описывать линейным приближением, в следствии чего движение так же будет разделяться на продольные колебания и циклоидальное вращение.
Модификация ловушки, создаваемая добавлением в нее буферного газа называется ловушкой Пеннинга-Малмберга-Сурко. В данной работе рассматривается динамика заряженных частиц в одной из модификаций ловушки Пеннинга-Малмберга-Сурко - ловушка Пеннинга-Малмберга-Сурко с вращающимся дипольным электрическим полем и буферным газом, исследованная ранее в работах [14-16](рис. 4).
Поля рассматриваемой идеальной ловушки комбинируются из постоянных полей ловушки Пеннинга и переменного (вращающегося в поперечной плоскости по всей длине ловушки) электрического поля, называемого также «вращающейся стенкой» (Rotating Wall — RW). Этот элемент создает дипольное электрическое поле вращающееся в поперечной плоскости по всей длине ловушки. Напряженность вращающегося поля в продольном (аксиальном) направлении возрастает по абсолютной величине от центра ловушки к краям и имеет противоположную направленность по разные стороны от центра ловушки (т. е. центрально симметрично).
Для создания в ловушке вращающегося электрического поля электрод изготавливается в виде нескольких изолированных сегментов. На каждый сегмент подаётся переменное гармоническое напряжение с одинаковой частотой и амплитудой, сдвинутое по фазе на определенный угол относительно соседнего сегмента. Таким образом достигается вращение электрического поля в плоскости, перпендикулярной оси ловушки. Такую модификацию ловушки иногда называют ловушкой Чарльтона.
Зависимость накопления заряженных частиц от параметров вращающегося поля носит резонансный характер. Добавление в ловушку вращающегося электрического поля с определенными параметрами позволяет получить как быстрое увеличение показателя роста амплитуды магнетронных колебаний (неустойчивость), так и затухание всех типов колебаний (асимптотическую устойчивость).Результаты анализа влияния вращающегося поля, полученные ранее, были или недостаточно полны [12] или недостаточно строги с математической точки зрения [10, 11]. В работах [5, 6, 8, 18] были предложены общие подходы, применимые для анализа устойчивости и построения численно-аналитических решений уравнений движения исследуемой системы при произвольных значениях ее параметров.
Целью данной работы является установление аналитических критериев, которым должны удовлетворять параметры ловушки данного типа для получения степени устойчивости исследуемой системы в заданном диапазоне (для анализа и настройки соответствующих режимов ее работы: сжатия или расширения). При проведении анализа, необходимо учитывать, как будет вести себя система при учете пространственного заряда, а так же определить, как будет меняться параметры линейной модели при различных значениях накопленного заряда.
В работе исследуются движения одиночных частиц (как без учета влияния пространственного заряда, так и с его учетом) в идеальных полях. Интерес к поставленной задаче возникает из попыток [4, 15] объяснить наблюдаемый в экспериментах [16] эффект сжатия сгустка накопленных частиц вращающимся полем при предельно малых концентрациях накопленных частиц. Фокусирующий эффект в таком случае должен следовать из анализа решения уравнений движения одиночных частиц в полях сил, действующих в ловушке [4], возможность чего была показана в работах [5, 8]. Учет пространственного заряда позволяет внести корректировку в параметры ловушки, в том числе в процессе накопления.
Рассмотрена линейная модель, описывающая динамику частиц в ловушке Пеннинга с вращающимся дипольным электрическим полем. Поставлена задача определения областей устойчивости в пространстве коэффициентов (параметров ловушки). Использована одна из модификаций алгебраического критерия устойчивости Гурвица - критерий Льенара - Шипара, произведен анализ устойчивости (по Ляпунову) движений частиц в ловушке с типовыми основными параметрами, найдены области устойчивости в пространстве параметров, характеризующих добавочное вращающееся электрическое поле. Разработана программа, реализующая проверку критерия Льенара - Шипара и графическое представление областей устойчивости.
Проведен анализ для определения устойчивости линейных семейств полиномов. Рассмотрено два подхода для определения устойчивости таких семейств, каждый из которых подтверждает результаты вычислений, полученных при использовании критерия Льенера-Шипара. Разработаны две программы реализующие проверку семейства полиномов по данным критериям.
Поставлена задача определения влияния пространственного заряда на устойчивость системы. Рассмотрены две модели пучка: аксиально - симметричный равномерно заряженный бесконечный пучок частиц и аксиально - симметричный равномерно заряженный пучок конечной длины. Построены области устойчивости для различного числа накопленных частиц в сгустке и типовых параметрах с ловушки Пеннинга. Разработано соответствующее программное обеспечение.
Результаты данного исследования были частично опубликованы в двух статьях [9] и [10].
Проведен анализ для определения устойчивости линейных семейств полиномов. Рассмотрено два подхода для определения устойчивости таких семейств, каждый из которых подтверждает результаты вычислений, полученных при использовании критерия Льенера-Шипара. Разработаны две программы реализующие проверку семейства полиномов по данным критериям.
Поставлена задача определения влияния пространственного заряда на устойчивость системы. Рассмотрены две модели пучка: аксиально - симметричный равномерно заряженный бесконечный пучок частиц и аксиально - симметричный равномерно заряженный пучок конечной длины. Построены области устойчивости для различного числа накопленных частиц в сгустке и типовых параметрах с ловушки Пеннинга. Разработано соответствующее программное обеспечение.
Результаты данного исследования были частично опубликованы в двух статьях [9] и [10].
Подобные работы
- Исследование устойчивости в пространстве параметров ловушки Пеннинга-Малмберга-Сурко с вращающимся квадрупольным полем
Бакалаврская работа, информационная безопасность. Язык работы: Русский. Цена: 4340 р. Год сдачи: 2021